1.2 集合间的基本关系-2023版广东省“3+专业技能课程证书”高职高考数学复习教材

1. 2　 集合间的基本关系 5 1.子集、真子集与集合相等 子集 真子集 集合相等 概念 如果集合 B 中的元素都是集合 A 中的元 素,那么把集合 B 叫做集合 A 的子集 如果集合 B 是集合 A 的子集,并且 A 中 至少有一个元素不属于 B,那么把 B 叫 做 A 的真子集 如果两个集合的元素完全相同, 那么就说这两个集合相等 记法 B ⊆ A 或 A ⊇ B B ⫋ A 或 A ⫌ B A = B 读法 B 包含于 A(A 包含 B) B 真包含于 A(A 真包含 B) 集合 A 等于集合 B 图示 或 性质 (1) 任何一个集合是它本身的子集; (2) 对于集合A,B,C,如果C⊆B,且B⊆ A,那么 C ⊆ A (1) 对于集合 A,B,如果 B ⊆ A,且 A ≠ B,那么 B ⫋ A; (2) 对于集合 A,B,C,如果 C ⫋ B,且 B ⫋ A,那么 C ⫋ A (1)A ⊆ B 且 B ⊆ A; (2) 两个集合中的元素完全相同 2.空集 (1) 空集的定义 不含有任何元素的集合叫做空集,记为 ⌀. (2) 空集的性质 ① 空集是任何集合的子集. ② 空集是任何非空集合的真子集. ③ 空集只有一个子集,即它本身. (3)⌀,0,{0} 与{⌀} 之间的关系 ⌀ 与 0 ⌀ 与{0} ⌀ 与{⌀} 相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合 不同点 ⌀ 是集合;0 是实数 ⌀不含任何元素;{0} 含一个元素0 ⌀ 不含任何元素; {⌀} 含一个元素,该元素 是 ⌀ 关系 0 ∉ ⌀ ⌀ ⫋ {0} ⌀ ⫋ {⌀} 或 ⌀ ∈ {⌀} 题型一:集合间关系的判断 下列关系式中正确的是 (　 　 ) A. 0 ∈ ⌀ B. {0} = ⌀ C. ⌀ ∈ {0} D. ⌀ ⫋ {0} 6 0 是元素,⌀ 是不含任何元素的集合,{0} 是只有一个元素 0 的集合,故 D 正确. D 已知集合 A = {0,3},集合 B = {x | x(x - a) = 0},若 A = B,则 a 的值为 (　 　 ) A. 0 B. 3 C. - 3 D. 0 或 3 集合 B = {x | x(x - a) = 0} = {0,a} . ∵ A = B,A = {0,3}, ∴ a = 3. B 下列集合与集合 A = {2 022,1} 相等的是 (　 　 ) A. (1,2 022) B. {(x,y) | x = 2 022,y = 1} C. {x | x2 - 2 023x + 2 022 = 0} D. {(2 022,1)} (1,2 022) 表示一个点,不是集合,A 不符合题意; 集合{(x,y) | x = 2 022,y = 1} 的元素是点,与集合 A 不相等,B 不符合题意; {x | x2 - 2 023x + 2 022 = 0} = {2 022,1} = A,C 符合题意; 集合{(2 022,1)} 的元素是点,D 不符合题意. C 在下列选项中,能正确表示集合 A = { - 1,0,1} 和 B = {x | x2 + x = 0} 关系的是 (　 　 ) A. A ⊇ B B. A = B C. A ⊆ B D. A ∩ B = ∅ 因为 B = {x | x2 + x = 0} = {0, - 1},A = { - 1,0,1} 所以 A ⊇ B,A ∩ B = {0, - 1} . A 设 p,q ∈ R,{1,0,1 + 2p} = {1,q + 1, - 1},则 p + q = . ∵ {1,0,1 + 2p} = {1,q + 1, - 1}, ∴ 1 + 2p =- 1, q + 1 = 0,{ 解得 p =- 1, q =- 1,{ ∴ p + q =- 2. - 2 7 题型二:确定集合的子集、真子集 已知集合 A = {0,x},B = {0,2,4},若 A ⊆ B,则实数 x 的值为 (　 　 ) A. 0 或 2 B. 0 或 4 C. 2 或 4 D. 0 或 2 或 4 ∵ A = {0,x},B = {0,2,4},A ⊆ B, ∴ x 的值为 2 或 4. C 集合 A = {x | x2 - 4x - 5 < 0} 的一个真子集可以为 (　 　 ) A. {x | - 1 < x < 5} B. {x | - 5 < x < 1} C. {x | - 1 < x < 4} D. {x | - 5 < x < 0} 由 x2 - 4x - 5 < 0 得(x - 5)(x + 1) < 0,解得 - 1 < x < 5, 所以 A = {x | x2 - 4x - 5 < 0} = {x | -