1.1 集合的含义与表示-2023版广东省“3+专业技能课程证书”高职高考数学复习教材

1. 1　 集合的含义与表示 1.集合与元素 (1) 集合与元素的含义 把某些确定的对象看成一个整体就构成一个集合,通常用大写字母 A,B,C,… 表示集合. 集合也简称集. 集合中的每个确定的对象叫做这个集合的元素,通常用小写字母 a,b,c,… 表示集合中的 元素. (2) 元素与集合的关系 关系 概念 符号 读法 属于 如果 a 是集合 A 中的元素,就说 a 属于集合 A a ∈ A a 属于集合 A 不属于 如果 a 不是集合 A 中的元素,就说 a 不属于集合 A a ∉ A a 不属于集合 A 　 　 (3) 集合中元素的特性 ① 确定性:对于一个给定的集合,任何一个对象或者是这个集合中的元素,或者不是它的 元素,这是集合中元素的最基本特性. 1 ② 互异性:集合中的任何两个元素都是能区分的(即互不相同的),相同的对象归入任何 一个集合时,只能算作这个集合的一个元素. ③ 无序性:在一个集合中,通常不考虑它的元素之间的顺序,如:{a,b,c} = {b,c,a} . 2.集合的表示方法 (1) 常用数集及其记法 由数组成的集合叫做数集. 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N∗ 或 N + Z Q R 　 　 (2) 集合表示的基本方法 ① 列举法 当集合元素不多时,常常把集合的元素一一列举出来,写在大括号内表示这个集合,这种 表示集合的方法叫做列举法. ② 性质描述法 给定 x的取值集合 I,如果属于集合 A的任一元素 x都具有性质 p( x) ,而不属于集合 A 的元素都不具有性质 p( x) ,则性质 p( x) 叫做集合 A的特征性质. 于是,集合 A可用它的特 征性质 p( x) 描述为{ x ∈ I | p( x) } . 它表示集合 A 是由集合 I中具有性质 p( x) 的所有元 素构成的. 这种表示集合的方法称为性质描述法. 题型一:集合的概念 下列各组对象能构成集合的是 (　 　 ) A. 接近 5 的所有实数 B. 本校全体男生 C. 著名的数学家 D. 1,2,3,3,4,4,4,4 选项 A,C 不满足集合中元素的确定性,选项 D 不满足集合中元素的互异性,故选项 A,C,D 不能构成集合. 选项 B 元素的归属是确定的,故选项 B 能构成集合. B 题型二:元素与集合的关系 已知集合 A = {x | - 1 < x < 1},则下列选项正确的是 (　 　 ) A. - 2 ∈ A B. - 1 ∈ A C. 0 ∈ A D. 1 ∈ A 易知 - 2, - 1,1 都不满足 - 1 < x < 1,故 A,B,D 都不正确; - 1 < 0 < 1,故 C 正确. C 2 下列元素与集合的关系判断正确的是 (　 　 ) A. 0 ∈ N B. π ∈ Q C. 2 ∈ Q D. - 1 ∉ Z 0 是自然数,π, 2 是无理数,不是有理数, - 1 是整数. 由元素和集合的关系可知,只有 A 选项正确. A 已知集合 A = {x | x = 2k,k ∈ Z},则 (　 　 ) A. - 1 ∈ A B. 1 ∈ A C. - 2 ∈ A D. 2 ∈ A 易知集合 A 是由所有的偶数构成的集合, 所以 - 1 ∉ A,1 ∉ A, - 2 ∉ A,2 ∈ A. D 题型三:集合中元素的特性 已知集合 A = {1, - m},B = {1,m2},且 A = B,则 m 的值为 . ∵ A = {1, - m},B = {1,m2},且 A = B, ∴ m2 =- m,解得 m =- 1 或 m = 0. 又 m =- 1 不满足集合中元素的互异性, ∴ m = 0. 0 题型四:集合的表示方法 用列举法表示下列集合. (1) 平方等于 1 的全体实数; (2) 一年中有 31 天的月份的全体. (1)∵ - 1,1 的平方等于 1, ∴ 平方等于 1 的全体实数的集合可表示为{ - 1,1} . (2)∵ 一年中 1 月,3 月,5 月,7 月,8 月,10 月,12 月分别有 31 天, ∴ 一年中有 31 天的月份的全体的集合可表示为{1 月,3 月,5 月,7 月,8 月,10 月,12 月} . 方程 x2 = 2x 的所有实数根组成的集合为 (　 　 ) A. (0,2) B. {(0,2)} C. {0,2} D. {x2 = 2x} 解一元二次方程 x2 = 2x 得 x = 2 或 x = 0, 所以方程 x2 = 2x 的所有实数根组成的集合为{0,2} . C 3 用列举法表示集合 (x,y) | x + y = 5, 2x - y = 1{{ } ,下列选项正确的是 (　 　 ) A. {2,3} B. {(2,3)} C