专题5.5 菱形（知识讲解）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（浙教版）

专题5.5 菱形（知识讲解） 【学习目标】 1. 理解菱形的概念. 2. 掌握菱形的性质定理及判定定理． 【要点梳理】 要点一、菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 特别说明：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 要点二、菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 特别说明：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 要点三、菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 特别说明：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等. 【典型例题】 类型一、菱形➽➼性质与判定的理解 1．菱形不具备的性质是（    ） A．四条边都相等 B．对角线一定相等 C．对角线平分对角 D．是中心对称图形 【答案】B 【分析】根据菱形的性质逐一判断即可． 解：A．菱形的四条边都相等，故本选项不合题意； B．菱形的对角线不相等，故本选项符合题意； C．菱形的对角线平分内角，故本选项不合题意； D．菱形是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：B． 【点拨】本题考查了菱形的性质以及中心对称图形，掌握菱形的性质是解答本题的关键． 举一反三： 【变式1】下列不属于菱形性质的是（    ） A．四条边都相等 B．两条对角线相等 C．两条对角线互相垂直 D．每一条对角线平分一组对角 【答案】B 【分析】根据菱形的性质即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用． 解：菱形的性质：对边平行，四条边相等， 两条对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角， ∴A，C，D都是菱形的性质，B不是，故B符合题意； 故选B． 【点拨】本题考查的是菱形的性质，熟记菱形的性质是解本题的关键． 【变式2】如图，四边形是平行四边形，下列说法能判定四边形是菱形的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由菱形的判定定理即可得出结论． 解：能判定四边形是菱形的是，理由如下： 四边形是平行四边形，， 平行四边形是菱形， 故选：A． 【点拨】本题主要考查了菱形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定是解题的关键． 2．顺次连接下列四边形的四边中点所得图形一定是菱形的是（    ） A． 平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．对角线互相垂直的四边形 【答案】C 【分析】利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形． 解：如图，四边形,点E、F、G、H分别是四边形四边的中点， 则在中，根据三角形中位线的性质可得：，， 同理可得：，，，，，， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∴顺次连接任意四边形的四边中点所得图形一定是平行四边形， 即当四边形的对角线时，即有：， 则所得图形一定是菱形， 平行四边形、菱形、对角线相互垂直的四边形这三种四边形的对角线不一定总相等，矩形的对角线一定相等，即矩形满足条件， 故选：C． 【点拨】本题考查了菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分． 举一反三： 【变式1】如图，在中，，的垂直平分线交于，交于，在上，并且． (1) 求证：四边形是平行四边形； (2) 当的大小满足什么条件时，四边形是菱形？请回答并证明你的结论． 【答案】(1) 见分析 (2) ，见分析 【分析】（1）利用中垂线的性质和等角的余角相等以及平行线的性质，证明，得到，即可得证； （2）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得到：当时，四边形是菱形， 根据 所对的直角边是斜边的一半，即可得解． 解：（1）为的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴ ， ∴， ， 又， 四边形为平行四边形； （2）要使得平行四边形为菱形，则即可， ， ，， 又， ， ，又， ， ， 即可， 在中，， 当时，， 故时，四边形为菱形． 【点拨】本题考查平行四边形的判定，以及菱形的判定和性质．熟练