5.3 第3课时 角平分线的性质 课件 2022-2023学年北师大版七年级数学下册

3 简单的轴对称图形 第五章 生活中的轴对称 第3课时 角平分线的性质 情境导入 角是生活中常见的图形，角是轴对称图形吗？ O A B 将 ∠ AOB 对折， 你发现了什么？ 角是轴对称图形， 角平分线所在的直线是它的对称轴． 1.操作测量：取点 P 的三个不同的位置，分别过点 P 作 PD⊥OA，PE ⊥OB，点 D，E 为垂足，测量 PD、PE 的长. 将三次数据填入下表： PD PE 第一次 第二次 第三次 C O B A P D E 实验：OC 是∠AOB 的平分线，点 P 是射线 OC 上的 任意一点. 猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 角平分线的性质 验证猜想 已知：如图，∠AOC =∠BOC，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E. 试说明：PD = PE. P A O B C D E 解： 因为 PD⊥OA，PE⊥OB， 所以 ∠PDO = ∠PEO = 90°. 在 △PDO 和 △PEO 中， ∠PDO =∠PEO， ∠AOC =∠BOC， OP = OP， 所以△PDO≌△PEO (AAS). 所以 PD = PE. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 应用所具备的条件： (1) 点在角的平分线上； (2) 到角两边的距离(垂直). 定理的作用： 证明线段相等. 知识要点 B A D O P E C 应用格式： 因为 OP 是∠AOB 的平分线， 所以 PD = PE. PD⊥OA，PE⊥OB， 推理的条件有三个，必须写完整，不能少. 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 判断正误：(1) 如下左图，因为 AD 平分∠BAC (已知)， 所以 ＝ . ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C (2) 如上右图，因为 DC⊥AC，DB⊥AB (已知)， 所以 = . ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C 　　例2　利用尺规，作 ∠ AOB 的平分线． 已知：∠ AOB. 求作： 射线 OC， 使 ∠ AOC =∠ BOC. 作法： 1.在OA和OB上分别截取OD，OE，使 OD = OE. 2.分别以 D，E为圆心、以大于 DE 的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C． 3.作射线 OC. OC就是∠AOB的平分线. 你能说明这样作的道理吗? SSS ZhangS (Z) - 想一想 如图，在 Rt△ABC 中，BD 是∠ABC 平分线，DE⊥AB， 垂足为 E. DE与DC 相等吗？为什么？ DE = DC 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 例2 如图，AM 是∠BAC 的平分线，点 P 在 AM 上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是 D，E，PD = 4 cm，则 PE = ____cm. B A C P M D E 4 温馨提示：存在两条垂线段——直接应用 典例精析 变式：如图，在直角△ABC 中，∠C＝90°，AP 平分∠BAC 交 BC 于点 P，若 PC＝4， AB＝14. (1) 则点 P 到 AB 的距离为_____； (2) 求△APB 的面积. A B C P D 4 温馨提示：存在一条垂线段——构造应用 故 AB·PD = 28. 解：由角平分线的性质知 PD = PC = 4， 随堂演练 1.如图，在Rt△ABC 中，BE 平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为D，AC=3cm，那么 AE + DE 的值为（ ） A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm B 2.如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，DE 垂直于点 E，S△ABC = 7，DE = 2，AB = 4，则 AC 长是（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 A 辅助线 3.如图，AD∥BC，∠ABC 的平