备战2023年数学中考：勾股定理专题（一）

勾股定理专题（一） 东方岳整理（2023.05.03） 1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，点P为边AB上一动点（且点P不与点A，B重合），PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，点M为EF中点，则PM的最小值为（　　） A． B． C． D． 简解：如图，作CH⊥AB于H，连接CM 则，CH== ∴PM=PC≥CH= 故，选D. 2．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM=2EF，则正方形ABCD的面积为（　　） A．14S B．13S C．12S D．11S 简解：如图，可令，AM=2a，BM=b 则，EF=a-(a-b)=b ∴AM=2b ∴S正方形ABCD=AB2=AM2+BM2=13b2=13S 3．如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中AC边上的高是（　　） A． B． C． D． 简解：如图，作BH⊥AC于H 则，BH•AC=S△ABC=4-2-= ∴BH= 4．如图，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=BD，AC⊥BD，若AB=4，AD=5，则DC的长（　　） A．7 B． C． D．2 简解：如图，作DH⊥AB于H，则△BDH≌△CAB ∴DH=AB=4，AH=3 作DE⊥BC于E，则DE=BH=BC=7，CE=3 解△CDE得，CD= 故，选B. 5．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=5．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF，ACPQ，BDMC，四块阴影部分的面积分别为S1，S2，S3，S4．则S1+S2+S3+S4等于（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 简解：如图，作FH⊥AM于H，则△ACJ≌△FHK，△FPJ≌△EMK ∴S1+S2+S3+S4=3S△ABC=15 故，选C. 6．如图，在△ABC中，∠A=90°，P是BC上一点，且DB=DC，过BC上一点P，作PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，已知：AD：DB=1：3，BC=4，则PE+PF的长是（　　） A．4 B．6 C．4 D．2 简解：如图，可令，AD=a，则BD=CD=3a 解△ACD得，AC=2a 解△ABC得，AD=a=2 ∴BD=CD=6 连接DP，则S△BCD=S△BPD+S△CPD 即，BD•AC=BD•PE+CD•CD 解得，PE+PF=4 7．如图，正方形ABCD边长为2，从各边往外作等边三角形ABE、BCF、CDG、DAH，则四边形AFGD的周长为（　　） A．4+2+2 B．2+2+2 C．4+2+4 D．2+2+4 简解：如图，作FK⊥AB于K，则，FK=1，BK= 解△AFH得，AF=+ ∴C四边形AFGD=4+2+2 8．如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点．已知∠ACB=90°，BE=4，AD=7，则AB的长为（　　） A．10 B．5 C．2 D．2 简解：如图，可令，AE=CE=a，CD=BD=b 则，4a2+b2=49 a2+4b2=16 ∴AB2=4(a2+b2)=4×13 ∴AB=2 9．如图△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠BAC=120°，点D在BC边上，且BD＜DC，以AD为边作正三角形ADE，当△ABC的面积是25，△ADE的面积是7时，BD与DC的比值是（　　） A．3：4 B．3：5 C．1：2 D．2：3 简解：如图，作AH⊥BC于H，则BC=2BH=2AH 又，BC•AH=25，AD2=7 ∴AH=5，AD=2 ∴BH=CH=5 解△ADH得，DH= ∴BD:CD=4:6=2:3 10．已知等边三角形ABC边长为2，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴负半轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第四象限，连结OC，则线段OC长的最小值是　 　． 简解：如图，作CH⊥AB于H 则，点H为AB的中点 ∴OH=AB=1 解△ACH得，CH= ∴OC≥CH-OH=-1 11．如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=7，E是BC上的一个动点（不与点B，C重合），△DEF≌△ABC，其中点A，B的对应点分别是点D，E．当点E运动时DE边始终经过点A．设EF与AC相交于点G，当△AEG是等腰三角形时，BE的长为　 　． 简解：1）如图1，当AE=EG时，则，△ABE≌△ECG ∴BE=BC-CE=BC-AB=1 2）如图2，当AG=EG时，则△AEG∽△BCA ∴BE=BC-CE=BC-AB= 图1 图2 12．如图，在四边形ABCD中，∠ADC=60°，∠ABC=30°，且AD=CD，连接BD，若AB=2，BD=，