7.3.1 复数的三角表示式 课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

7.3.1 复数的三角表示式 高一 必修二 本节目标 1. 通过复数的几何意义,了解复数的三角表示,了解复数的代数表示与三角表示之间的关系； 2. 掌握复数的三角形式及复数代数形式与三角形式的互化； 3. 理解复数的模与辐角的主值的含义. 2 课前预习 预习课本P83～85，思考并完成以下问题 什么是复数的三角形式？复数的三角形式与代数形式有什么联系？ (2) 什么是辐角的主值？怎样表示？ 课前小测 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)－1＝cosπ＋isinπ.(　　) (2)2i＝2 .(　　) (3)－3(cos200°＋isin200°)是复数的三角形式．(　　) √ √ × 4 2．做一做 (1)将复数z1＝－1＋i表示成三角形式为___________________． (2)已知|z|＝2，argz＝ ，求复数z＝________________. (3)若a<0，则a的三角形式是_________________． 5 新知探究 复数可以用a+bi(a,b∈R)的形式来表示，借助复数的几何意义，复数能不能用其他形式来表示呢？ 7 知识点一 复数的三角形式 新知探究 x y O a b r Z:a+bi 如图，复数z=a+bi与向量(a,b)一一对应，复数z由向量的坐标(a,b)唯一确定.我们知道向量也可以由它的大小和方向唯一确定，那么能否借助向量的大小和方向这两个要素来表示复数呢？如何表示？ 知识点一 复数的三角形式 思考 ？ 你能用向量的模和角来表示复数z吗？ 知识点一 复数的三角形式 x y O a b r Z:a+bi 记向量的模r,由下图可知 rcos rs = rcos+rs = r(cos+s) 其中 r = cos= sin= 知识点一 复数的三角形式 _____________叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式． 即z＝r(cosθ＋isinθ)，其中|z|＝r，θ为复数z的________． 定义 r(cosθ＋isinθ) 辐角 以x轴的非负半轴为______，向量所在的射线(射线OZ)为_____的角θ叫复数z＝a＋bi的_________． 非零复数z辐角θ的多值性 因此复数z的辐角是____________． 始边 终边 辐角 θ＋2kπ(k∈Z) 12 知识点二 辐角的主值 复数z的辐角的主值是唯一确定的． 在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz，即0≤argz<2π. 定义及表示 唯一性 特别注意：z＝0时，其辐角是任意的． 题型突破 典例深度剖析 重点多维探究 题型一　复数三角形式的定义 [例1]　下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式： (1)z1＝－2(cosθ＋isinθ)； (2)z2＝cosθ－isinθ. [例1]　下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式： (1) z1＝－2(cosθ＋isinθ)； 由“模非负”知，不是三角形式，需做变换 z1＝2(－cosθ－isinθ)， 复平面上点Z1(－2cosθ，－2sinθ)在第三象限(假定θ为锐角)， 余弦“－cosθ”已在前，不需再变换三角函数名称， 因此可用诱导公式“π＋θ”将θ变换到第三象限． ∴z1＝2(－cosθ－isinθ)＝2[cos(π＋θ)＋isin(π＋θ)]． [例1]　下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式： (2) z2＝cosθ－isinθ. 由“加号连”知，不是三角形式 复平面上点Z2(cosθ，－sinθ)在第四象限(假定θ为锐角)， 不需改变三角函数名称， 可用诱导公式“2π－θ”或“－θ”将θ变换到第四象限． ∴z2＝cosθ－isinθ＝cos(－θ)＋isin(－θ)或z2＝cosθ－isinθ＝cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)， 考虑到复数辐角的不唯一性，复数的三角形式也不唯一． 反思感悟 由三角形式的结构特征，确定判断的依据和变形的方向． 变形时，可按照如下步骤进行： 首先确定复数z对应点所在象限(此处可假定θ为锐角)， 其次判断是否要变换三角函数名称， 最后确定辐角． 此步骤可简称为“定点→定名→定角”．这样，使变形的方向更具操作性，能有效提高解决此类问题的正确率． 跟踪训练 1. 下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式. (1) z3＝－sinθ＋icosθ； (2) z4＝－sinθ－icosθ； (3) z5＝cos60°＋isin30°. 1. 下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式. (1) z3＝－sinθ＋icosθ； 复平面上点Z3(－sinθ，cosθ)在第二象限(假定θ为锐角)，需改变三角函数名称， 可用诱导公式“＋θ”将