第二十九章 直线与圆的位置关系 专项拓展训练（二） 2022-2023学年冀教版数学九年级下册

《第二十九章　直线与圆的位置关系》专项拓展训练（二） 专项一 三角形的内心和外心 类型1　三角形内心和外心的识别 1. [2021唐山期中]当一个三角形的内心与外心重合时,这个三角形一定是 (　　) A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 2. [2022保定期末]如图为5×5的网格图,A,B,C,D,O均在格点上,则点O是 (　　) A.△ACD的外心 B.△ABC的外心 C.△ACD的内心 D.△ABC的内心 3. [2022廊坊安次区一模]根据尺规作图的痕迹,可用直尺成功找到三角形内心的是(　　) 4. 如图,在△ABC中,AB=AC,AI平分∠BAC,O是AB边上一点,以点O为圆心、OB为半径的☉O切AI于点I,交AB于点F,连接BI. (1)求证:I是△ABC的内心. (2)连接IF ,若IF=2,∠IBC=30°,求圆心O到BI的距离. 类型2　利用内心的性质求角度 5. 如图,四边形ABCD内接于☉O,点I是△ABC的内心,∠AIC=124°,点E在AD的延长线上,则∠CDE的度数为 (　　) A.56° B.62° C.68° D.78° 6. 如图,在扇形CAB中,CD⊥AB,垂足为D,☉E是△ACD的内切圆,连接AE,BE,则∠AEB的度数为　　　　.  7. [2019河北中考]如图,在△ABC和△ADE中,AB=AD=6,BC=DE,∠B=∠D=30°,边AD与边BC交于点P(不与点B,C重合),点B,E在AD异侧,I为△APC的内心. (1)求证:∠BAD=∠CAE. (2)设AP=x,请用含x的式子表示PD,并求PD的最大值. (3)当AB⊥AC时,∠AIC的取值范围为m°<∠AIC<n°,直接写出m,n的值. 类型3　三角形内心和外心的综合 8. [2022石家庄模拟]如图,点O是△ABC的内心,也是△DBC的外心.若∠A=80°,则∠D的度数是 (　　) A.60° B.65° C.70° D.75° 9. [2022合肥二模]如图,☉O是△ABC的外接圆,点I是△ABC的内心,延长AI交☉O于点D,连接DB,DC. (1)求证:DB=DC=DI. (2)若☉O的半径为10 cm,∠BAC=120°,求△BDC的面积. 专项二 与圆有关的动态问题 类型1　折叠问题 1. 如图,点M是以AB为直径的半圆O上的一点(不与点A,B重合),AB=4.沿着BM折叠半圆O,点A,O的对应点分别是点A',O',设∠ABM=α. (1)如图1,过点A'作A'N∥AB,当A'N与半圆O相切时,求α的值; (2)如图2,当点O'落在上时,求阴影部分的面积; (3)如图3,当BA'与☉O相切时,求折痕BM的长. 类型2　旋转问题 2. 如图,点A为半圆O的直径MN所在直线上一点,射线AB垂直于MN,垂足为点A,半圆绕点M顺时针转动,转过的角度记作α.设半圆O的半径为R,AM的长度为m,回答下列问题. 探究: (1)若R=2,m=1,如图1,当旋转30°时,圆心O'到射线AB的距离是　　　　;如图2,当α=　　　　°时,半圆O'与射线AB相切.  (2)如图3,在(1)的条件下,为了使得半圆O转动30°即能与射线AB相切,在保持线段AM长度不变的条件下,调整半径R的大小,请你求出满足要求的R,并说明理由. 发现: (3)当0°<α<90°时,为了对任意旋转角都保证半圆O与射线AB能够相切,小明探究了cos α与R,m两个量的关系,请你帮助他直接写出这个关系:cos α=　　　　.(用含有R,m的代数式表示)  拓展: (4)如图4,若R=m,当半圆弧线与射线AB有两个公共点时,α的取值范围是　　　　,并求出在这个变化过程中阴影部分(弓形)面积的最大值(用m表示).  3. 如图,在△ABC中,BC=2,∠C=90°,∠CAB=30°,OA=2,且OA⊥AB,以点O为圆心、1为半径画圆,将线段OA和☉O一起绕点A按顺时针方向旋转. (1)当点O第一次落在AC上时,旋转角为　　　　°,此时点C在☉O　　　　(填写“内”“上”或“外”);  (2)在运动过程中,点O到直线BC的距离最短为　　　　;  (3)当☉O与△ABC的边相切时,设切点为P,求BP的长度. 参考答案 专项一 三角形的内心和外心 1. D 2. B　连接OA,OB,OC,OD,设网格的边长为1,则OA=OB=OC==,OD= =,∴点O在线段AB,BC的垂直平分线上,∴点O是△ABC的外心. 3. C　 根据三角形内角和定理可知,第三个内角为65°,所以三角形是等腰三角形,再根据三角形的内心是内角平分线的交点,可得选项C能用直尺成功找到三角形内心. 4. (1)证明:如图,延长AI交BC于点D,连接OI, ∵☉O切AI