13.2.1 平面的基本性质-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(苏教版2019必修第二册)

13.2.1 平面的基本性质 一、平面的概念及表示方法 1、平面的概念：几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体中抽象出来的，是无限延展的 2、平面的特点：（1）平面是平的；（2）平面是没有厚度的；（3）平面是无限延展而没有边界的；（4）平面是由空间点、线组成的无限集合；（5）平面图形是空间图形的重要组成部分。 3、平面的画法： （1）当平面水平放置时，平行四边形的锐角一般画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍； （2）当平面竖直放置时，平行四边形的一组对边通常画成铅垂线。 4、平面的表示方法： （1）一个希腊字母：如，，等； （2）两个大写英文字母：表示平面的平行四边形的相对的两个顶点； （3）四个大写英文字母：表示平面的平行四边形的四个顶点。 5、点与直线（平面）、直线与平面的位置关系 （1）点与直线（平面）的位置关系只能用“∈”或“∉”， （2）直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”． 二、平面的基本事实 1、基本事实1 （1）内容：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 （2）图形： （3）符号表示：A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α （4）作用：确定一个平面或判断“直线共面”的方法 2、基本事实： （1）内容：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 （2）图形： （3）符号表示：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α （4）作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内 3、基本事实： （1）内容：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 （2）图形： （3）符号表示：P∈α，P∈β⇒α∩β＝l且P∈l （4）作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明点共线或线共点 4、三个推论： 推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 题型一 空间符号的正确使用 【例1】（2023春·全国·高一专题练习）如果A点在直线上，而直线在平面内，点在内，可以用集合语言和符号表示为（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式1-1】（2022秋·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）如图所示，点、线、面之间的数学符号语言关系为（ ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-2】（2022·高二课时练习）下列图形中，正确表示直线a在平面内的图形是____． 【变式1-3】（2023·全国·高一专题练习）如图，用集合符号表述下列点､直线与平面之间的关系. （1）点C与平面：___________； （2）点A与平面：___________； （3）直线AB与平面：___________； （4）直线CD与平面：___________. 题型二 基本事实与推论辨析 【例2】（2023·高三课时练习）两个平面重合的条件是它们的公共部分有（ ） A．两个公共点 B．三个公共点 C．四个公共点 D．两条平行直线 【变式2-1】（2022·高一课时练习）下列说法中错误的是（ ） A．经过两条平行直线，有且只有一个平面 B．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 C．平面与平面相交，它们只有有限个公共点 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 【变式2-2】（2022·湖南长沙·高一师大附中校考阶段练习）下列推断中，错误的是（ ） A．若，，，则 B．，，， C．， D．，，且不共线重合 【变式2-3】（2022·高一课时练习）已知、为平面，、、、为点，为直线，下列推理中错误的是（ ） A．，，，，则 B．，，，，则直线，直线 C．，，则 D．、、，、、，且、、不共线，则、重合 题型三 平面分空间的区域数量 【例3】（2023·全国·高一专题练习）两个平面能把空间分成几个部分（ ） A．2或3 B．3或4 C．3 D．2或4 【变式3-1】（2023春·全国·高一专题练习）三个平面不可能将空间分成（ ）个部分 A．5 B．6 C．7 D．8 【变式3-2】（2023·高一专题练习）空间的4个平面最多能将空间分成（ ）个区域． A．13 B．14 C．15 D．16 【变式3-3】（2023·高一专题练习）正方体的6个面无限延展后把空间分成______个部分 题型四 点共面与线共面问题 【例4】（2022·高一课时练