上海市上海中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷

上海中学2023学年第二学期高一年级数学期中 2023.4 一、填空题（每小题3分，共36分） 1.一个扇形OAB的面积为1，周长为4，该扇形圆心角的弧度数为 2.角9的终边经过点P(4,),且sin0=-3,则an0= 5 3.若tan0=-2,则cos20-sin20 1+cos20 4.已知c行+a0<a<引则sn(x+a)=一 5.函数y=(sinx+cosx)的最小正周期是 E△BC中，角本久C的对边分别为a小、66，其面积S=口+c-) tan B= 7.已知函数f()=25sin2cos @X OX 2π )+2c0s2(0>0)的最小正周期为 当 2 3 时，函数g(x)=f(x)+m恰有两个不同的零点，则实数m的取值范围是 8.若商数f国)=25ma>0)在骨到 上的最小值是-2，最大值不是2，则正数⊙ 的取值范围是 9.张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在△ABC中，a,b,c 分别是角A,B,C的对边，己知b=2√互，∠A=45°，求边.显然缺少条件，若他打算 补充a的大小，并使得c只有一解.那么，a的可能取值是·（只需填写一个适合的答案） 10定义：关于的两个不等式)<0和8()水0的解集分别为a)和利后君司)】 称这两个不等式为对偶不等式.如果不等式x2-4V3xcos20+2<0与不等式 2x2+4xsin20+1<0为对偶不等式，且0=一 11.设f(x)=x2+2022x+2021,若不等式f(sin2x+acosx+a2)≥f(1+cosx)对 一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是」 12.若不等式ksin'B+sin AsinC>23 sin BsinC对任意△ABC都成立，则实数k的最 小值为 二、选择题（每小题4分，共16分） 13.将函数y=sin 2x-图象上的点P向左平移s(s>0)个单位长度得到点， 若P'位于函数y=sin2x的图象上，则( 01=s的最小值为 ·s的最小值为」 2 B.1=),s的最小值为 一，s的最小值为 2 3 2 3 14.我们学过用角度制与弧度制度量角，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半 径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数 为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制.在面度制下，角日 5π 的面度数为泛，则cos2（ 12 6+迈 A. B. 6-迈 5+1 5-1 D. 4 4 4 15.将商数()=2sn3x+ 的图像向下平移1个单位，得到g(x)的图像，若 8(x)小8()=9，其中x,∈[0,4π小，则立的最大值为() A.9 B. 27 C.3 D.1 16.设函数f(x)=3sinx+2cosx+1.若实数a、b、c使得af(x)+b(x-c)=1对任意 实数x恒成立，则 bcosc 的值等于( a A.-5 6:2 C.-1 D.1 2 三、解答题（本大题共5题，各题分值依次为8、8、8、12、12分，共48分） 17.(本题满分8分) 函数f(x)=Asin(ox+p)(o>0,-π<p<0)的最小正周期为T,且 [+ 内的图 像经过a0c(0D任点，求)=4sm(ox+p)的表达式. 18.(本题满分8分)在△4BC中，角4BC所对的边分别为a,bc,已知tanA=,2sinC 1-2cos C b=1. (1)求a的值： (2)若c=√7，求△ABC外接圆的面积. 19.(本题满分8分) 设a为常数，函数f(x)=asin2x+cos(2π-2x)+1(x∈R). (1)设a=√5，求函数y=f(x)的单调区间及周期 (2)若函数y=f(x)为偶函数，求此函数的值域. 20.(本题满分12分) 己知AB两地相距2R,以AB为直径作一个半圆，在半圆上取一点C,连接AC、BC, 在三角形ABC内种草（如图），从、N分别为弧AC、弧BC的中点，在三角形AMC、三 角形BNC上种花，其余是空地.设花坛的面积为S,,草坪的面积为S,取∠ABC=O. (1)用0及R表示S和S2: (2)求 S的最小值， 21.(本题满分12分) 对于函数f(x)(x∈D),若存在非零常数T,使得对任意的x∈D,都有f(x+T)≥f(x) 成立，我们称函数f(x)为“T函数”，若对任意的x∈D,都有f(x+T)>f(x)成立， 则称函数∫(x)为“严格T函数” (1)求证：f(x)=sinx,x∈R是“T函数”： )若函数fx)=kx+sinx是“函数”，求的取值范证 (3)对于定义域为R的函数f(x),f(O)=0.函数sinf(x)是奇函数，且对任意的正实 数sinf)均是“严格T函数”若f(o)=,f()=-2求a+b的值.