10.2 事件的相互独立性（教学课件）-【上好课】2022-2023学年高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第二册）

第10章 概率 人教A版2019必修第二册 10.2 事件的相互独立性 学习目标 1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念，培养学生数学抽象的核心素养； 2、能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题，培养学生数学运算、数学建模的核心素养。 新知导入 3张奖券只有1张能中奖，3名同学有放回地抽取.事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“第三名同学抽到中奖奖券”. 【问题】　上述问题中事件A的发生是否会影响B发生的概率？事件A和事件B相互独立吗？ 【提示】　因为抽取是有放回的，所以A的发生不会影响B发生的概率，事件A和事件B相互独立. 前面我们研究过互斥事件、对立事件的概率性质，还研究过和事件的概率计算方法.对于积事件的概率，你能提出什么值得研究的问题吗？ 我们知道，积事件就是事件与事件同时发生.因此，积事件发生的概率一定与事件发生的概率有关.那么，这种关系会是怎样的呢？ 下面我们来讨论一类与积事件有关的特殊问题. 问题1：下面两个随机试验各定义了一对随机事件和，你觉得事件发生与否会影响事件发生的概率吗？ 试验1:分别抛掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚硬币正面朝上”，“第二枚硬币反面朝上”. 试验2：一个袋子中装有标号分别是1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设“第一次摸到球的标号小于3”，“第二次摸到球的标号小于3”. 分别计算，你有什么发现？ 显然，对于试验1，因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件发生与否不影响事件发生的概率. 对于试验2，因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件发生与否也不影响事件发生的概率. 在试验1中，用1表示硬币“正面朝上”，用0表示“反面朝上”，则样本空间为，包含4个等可能的样本点.而，，所以.由古典概型概率计算公式，得，.于是. 积事件的概率恰好等于与的乘积. 在试验2中，样本空间为， 而， ， ， 所以，. 于是也有. 积事件的概率恰好等于与的乘积. 从上述两个试验的共性中得到启发，我们引入这种事件关系的一般定义： 对任意两个事件与，如果 成立，则称事件与相互独立，简称为独立. 由两个事件相互独立的定义，容易验证必然事件、不可能事件都与任意事件相互独立.这是因为必然事件总会发生，不会受任何事件的影响；同样，不可能事件总不会发生，也不受任何事件是否发生的影响.当然，它们也不影响其他事件是否发生. 问题2：互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系.如果事件与事件相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立？以有放回摸球试验为例，分别验证与，与，与是否独立，你有什么发现？ 对于与，因为，而且与互斥，所以 所以. 由事件的独立性定义，与相互独立. 我们知道，如果三个事件，两两互斥，那么概率加法公式 成立.但当三个事件 两两独立时，等式一般不成立. 类似地，可以证明事件与,与也都相互独立. 例1 一个袋子中有标号分别为1, 2, 3, 4的4个球, 除标号外没有其他差异. 采用不放回方式从中任意摸球两次. 设事件A=“第一次摸出球的标号小于3”,事件B=“第二次摸出球的标号小于3”, 那么事件A与事件B是否相互独立? B={(1,2), (2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}， 解：样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}, 且m≠n}，共12个样本点. A={(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4)}， AB={(1,2), (2,1)}. 因此，事件A与事件B不独立. 例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8， 乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率: (1)两人都中靶；(2)恰好有一人中靶；(3)两人都脱靶；(4)至少有一人中靶. 解： 例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8， 乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率: (1)两人都中靶；(2)恰好有一人中靶；(3)两人都脱靶；(4)至少有一人中靶. 解： 例3 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动, 每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为 ，乙每轮猜对的概率为 . 在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响. 求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率. 解： 课堂练习 1. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第1枚正面朝上”，B=“第2枚正面朝上”，C=“2枚硬币朝上的面相同”，A、B、C中哪两个相互独立？ 16 2