2022-2023学年高二物理竞赛课件：傅里叶描述的特性

傅里叶描述的特性 2 傅里叶描述的特性 线性与对称特性 卷积特性 微分与积分特性 时移和频移特性 利用部分分式展开法求傅里叶逆变换 相乘特性 尺度变换特性 帕斯瓦尔关系 时间-带宽乘积 对偶特性 3 例3.6 离散方波的DTFS：频谱离散（谐波）性、周期性 例3.13 连续方波的FS：频谱离散（谐波）性、非周期 -T0 T0 占空比~2T0/T↓~对应于信号能量在时域周期内所占时间比例↓； ~~导致频域分布：频谱主瓣宽度↑，主瓣内谐波分量的数量↑ -M 0 M N不变M↓~对应于信号能量在时域周期内所占时间比例↓； ~~导致频域分布：频谱“主瓣”宽度↑，主瓣内谐波分量的数量↑。 3 谐波间隔取决于时域周期，因此频谱的主瓣宽度增大，必然里面包含的谐波分量增多。 4 例3.25 连续矩形脉冲的FT：频谱连续性、非周期性 例3.18 离散矩形脉冲的DTFT：频谱连续性、周期性 -M 0 M n M ↑ ~对应于信号能量在时域宽度↑； ~~导致频域分布：频谱“主瓣”宽度↓，能量更集中于某些频率附近 信号的时域宽度 与频域带宽成反比 5 一、 线性与对称特性（P236， §3.9 ） ——可求已知信号的线性组合的傅里叶表示。 对于FS和DTFS，求和的各信号具有相同的周期T。 例3.30：周期方波信号的加权和 ——扩展：光栅透过率函数的加权和 1、线性特性 —— 4种信号及对应的傅里叶表示均满足此特性。 5 6 2、对称特性 时域实信号 频域表示：实部（幅度谱）偶函数、虚部（相位谱）奇函数 频域表示：实部（幅度谱）奇函数、虚部（相位谱）偶函数 实偶信号 实奇信号 时域虚信号 频域实偶 频域虚奇 ——4种信号及对应的傅里叶表示均满足上述特性（表3.4） 7 二、时移和频移特性（ P259, §3.12） 2、频移性 1、 时移性 ——复正弦信号的时移↔引起频率线性函数的相移； 不改变频率与幅度，相移大小是时移与正弦频率的乘积。 ——复正弦信号的频移↔时域：初始信号与另一频率等于频移量的复正弦的乘积。 小结：频移与时移两种特性是对偶关系：一个域内的移动，对应于另一个域内乘以一个复正弦函数。 ——4种信号及对应的傅里叶表示均满足上述特性（表3.7） 7 例3.41、3.42 8 三、尺度变换（时—频压扩）特性（ P277，§3.15） ——时域信号的尺度变换，引起频域表示的尺度反变换，同时引起幅度的变化。 尺度变换仅改变信号的基本周期（基频）, 傅里叶级数的系数不变。 连续时间周期信号： 连续时间 非周期信号： 离散时间信号：尺度变换系数取整数，易丢失信息。 ——时间翻转性 8 如a>1，对应于时域的压缩，频域带宽的展宽。 对于连续周期信号，尺度变换只是改变了基频，或者说是改变了频率间隔，对于谐波分量的编号没改变，因此Z[k]和X[k]相等。 四、微分和积分特性（P251,§3.11） 1、 时域微分：适用于连续时间信号（FT, FS） ——适用于连续变量函数的运算 非周期 信号 同理可证： 周期信号 ——时域微分效果： 对应的傅里叶表示在频域内消除了信号的零频分量，增强了高频成分。 9 10 2、频域微分 ——适用于时域非周期、连续频谱分布的信号 （FT、DTFT） 同理可证：离散时间信号 连续时间信号： 11 3、积分 ——适用于FT和FS的时域、 FT和DTFT的频域 时域积分（P257） ——仅适用于 时间均值为0的信号 扩展：加入冲激解决0频处对应的FT，不影响高频成分 例：单位阶跃函数的FT （P258） 12 2、时域周期信号 ——经常用于信号的分析和处理情况中。 连续时间信号： 离散时间信号： 周期卷积运算：两个信号在一个周期内的积分. 12 例3.31、3.32 $