6.5 三角计算的应用（分层作业）-【中职专用】高二数学同步精品课堂（高教版2021·拓展模块一下册）

6.5 三角计算的应用 基础巩固 1．如图，在铁路建设中需要确定隧道的长度，已测得隧道两端的两点到某一点的距离分别是，及，则两点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用余弦定理直接求解即可. 【详解】由余弦定理得：， . 故选：C. 2．如图，两点在河的两岸，在同侧的河岸边选取点，测得的距离，则两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理求解即可 【详解】因为，故，由正弦定理，，故m 故选：D 3．已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离都为，灯塔A在观测站C的北偏东方向上，灯塔B在观测站C的南偏东方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为_________． 【答案】 【分析】易得角，再利用余弦定理即可得解. 【详解】如图，由题意得， 则， 所以， 即灯塔A与灯塔B的距离为. 故答案为：. 4．开封铁塔是宋都开封具有代表性的文物，是文物价值最高、份量最重的宝物之一．1961年，被国务院定为中国首批国家重点保护文物之一．某司机驾车行驶到M处，测得铁塔S在汽车的北偏东15°，与铁塔S相距20公里，汽车继续沿正西方向航行30分钟到达N处后，又测得铁塔在汽车的北偏东45°，则汽车的速度为________公里/时． 【答案】 【分析】结合图形分析可得∠SNM＝45°，SM＝20，∠NSM＝30°，利用正弦定理，运算求解可得，再求车速． 【详解】如图所示，由题意可知∠SMN＝15°+90°＝105°，∠SNM＝45°，SM＝20，∴∠NSM＝30°， 在中，由正弦定理可得， 即，解得， ∴汽车的速度为（公里/时）． 故答案为：． 5．把一根长为30cm的木条锯成两段，分别作钝角三角形ABC的两边AB和BC且．如何锯断木条，才能使第三条边AC最短？ 【答案】当时，才能使第三条边AC最短 【分析】根据题意设 ，利用余弦定理列出关系式，利用二次函数性质即可得到取得最小值时的值，从而得出结论. 【详解】如图所示，设，则， 由余弦定理得：， 当时，AC取得最小值为， 即当时，第三边AC的长最短为. 能力进阶 1．已知灯塔在海洋观测站 的北偏东的方向上，，两点间的距离为5海里．某时刻货船在海洋观测站的南偏东的方向上，此时，两点间的距离为3海里，该时刻货船与灯塔间的距离为（    ） A．3海里 B．4海里 C．6海里 D．7海里 【答案】D 【分析】由条件画出简图，得出，在中，由余弦定理即可求出的长． 【详解】根据题意画出简图，如图所示， 可知， 在中，，， ， 解得， 故选：D． 2．和谐钟塔位于江西省赣州市章贡区赣州大桥东岸引桥南侧，有四个直径达12.8米的钟面.小赵同学经过和谐钟塔时，想利用正弦定理的知识测量该钟塔的高度，他在该钟塔塔底点的正西处的点测得该钟塔塔顶点的仰角为，然后沿着东偏南的方向行进了后到达点（三点处于同一水平面），且点在点北偏东的方向上，则该钟塔的高度为___________.（参考数据：取） 【答案】113 【分析】先利用正弦定理求出BC，再求出AB. 【详解】 由题意做上图， ，则. 由正弦定理，得， 所以； 故答案为：113m. 3．如图，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，与O相距15nmile的C处．现甲船以35nmile/h的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向25nmile的B处的乙船，则甲船到达B处需要的时间为________________h． 【答案】1 【分析】利用方向坐标画出图形，结合图形利用余弦定理求出的值，再计算甲船到达处需要的时间． 【详解】如图所示， 中，，，； 所以， 即，又甲船的速度为， 所以甲船到达处需要的时间为． 故答案为：1． 4．如图，在倾斜角等于的山坡上有一根旗杆，当太阳的仰角是时，旗杆在山坡上的影子的长是，求旗杆的高. 【答案】 【解析】由已知可得，运用正弦定理，即可求解. 【详解】解：由题意可知， 在中，， . 由正弦定理得，， ， 旗杆的高为. 素养提升 1．已知飞机从地按北偏东的方向飞行到达地，再从地按南偏东的方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．求地与地之间的距离． 【答案】 【分析】作图后由几何关系及余弦定理求解. 【详解】 由题意得，，所以， 因为，， 所以 ， 所以，， 地在地的南偏东，地距地． 2．如图，，两点分别在河的两侧，为了测量，两点之间的距离，在点的同侧选取点，测得，，米，求，两点之间的距离． 【答案】米. 【分析】直接利用正弦定理和特殊角的三角函数的值即得． 【详解】根据已知条件：，，米， 所以：， 利用正弦定理：则， 所以(米)． 3．两游艇自某地同时出发，一艇以10km/h的速度向正北方向行驶，另一艇以7km/h的速度向北偏东45°的方向行驶.问：经过40min，两艇相距多远（