专题8.2 表面积与体积（基础题型）-【题型分层练】2022-2023学年高一数学知识梳理与题型分层精练（人教A版2019必修第二册）

专题8.2 表面积与体积 知识点一、棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和． 棱柱、棱锥、棱台的体积 几何体 体积 说明 棱柱 V棱柱＝Sh S为棱柱的底面积，h为棱柱的高 棱锥 V棱锥＝Sh S为棱锥的底面积，h为棱锥的高 棱台 V棱台＝h(S′＋＋S) S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高 知识点二、圆柱、圆锥、圆台的表面积 图形 表面积公式 旋 转 体 圆柱 底面积：S底＝2πr2； 侧面积：S侧＝2πrl； 表面积：S＝2πr(r＋l) 圆锥 底面积：S底＝πr2； 侧面积：S侧＝πrl； 表面积：S＝πr(r＋l) 圆台 上底面面积：S上底＝πr′2； 下底面面积：S下底＝πr2； 侧面积：S侧＝π(r′l＋rl)； 表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 知识点三、圆柱、圆锥、圆台的体积 几何体 体积 说明 圆柱 V圆柱＝Sh＝πr2h S为底面积，h是高，r是底面半径 圆锥 V圆锥＝Sh＝πr2h S为底面积，h是高，r是底面半径 圆台 V圆台＝ (S′＋＋S)h ＝π(r′2＋r′r＋r2)h S′，S分别为上、下底面面积，h为高，r′，r分别是上、下底面半径 知识点四、球的表面积与体积 1．球的表面积公式S＝4πR2(R为球的半径)． 2．球的体积公式V＝πR3. 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 已知正三棱台（由正三棱锥截得的三棱台）的上、下底面边长分别为和，高为，则此正三棱台的侧面积为 　　． 【解答】解：如图，分别取上下底面的中心，， 连接并延长交于，连接并延长交于， 等边三角形的边长为， ， 等边三角形的边长为， ， ， ， 侧面积等于， 故答案为：． 若一个正四棱台的上、下底面边长分别为2、4，它的高为2，则该四棱台的表面积为 　　． 【解答】解：如下图所示：， 所以， 所以该四棱台的表面积为：， 故答案为：． “李白斗酒诗百篇，长安市上酒家眠”，本诗句中的“斗”的本义是指盛酒的器具，后又作为计量蜋食的工具，某数学兴趣小组利用相关材料制作了一个如图所示的正四棱台来模拟“斗”，用它研究“斗”的相关几何性质，已知该四棱台的上、下底的边长分别是2、4，高为1，则该四棱台的表面积为　　 A． B．32 C． D． 【解答】解：如下图所示：，，， 所以， 所以该四棱台的表面积为：， 故选：． 已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥，如图，则它的侧面积与表面积分别为 ． 【解答】解：由于各棱长都相等，故棱锥的各侧棱都是等边三角形， 棱锥的侧面积， 棱锥的表面积． 故答案为：，． 已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的表面积为　　 A． B．12 C．8 D． 【解答】解：如图所示： 在正四棱锥中，取中点，连接， 则为直角三角形，又底面正方形边长是2，侧棱长是， ， 该正四棱锥的表面积． 故选：． 已知正四棱锥的底面正方形的中心为．若高，．则该四棱锥的表面积是　　 A． B． C． D． 【解答】解：由题意知，面，所以， 因为，所以为等腰直角三角形， 所以，， 所以， 所以正四棱锥的四个侧面均是边长为2的等边三角形，底面是边长为2的正方形， 所以四棱锥的表面积． 故选：． 棱柱、棱锥、棱台的体积 已知正四棱台底面边长分别为和，侧面积为，求其体积． 【解答】解：正四棱台底面边长分别为和，侧面积为，设为了的斜高， 可得，解得． 即， 棱台的高． ． 棱台的体积为：． 已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，为上一点，则三棱锥的体积为　　 A． B． C． D． 【解答】解：如图，为正四棱柱， 为到平面的距离， 根据等体积算法可得： ． 故选：． “堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓．《九章算术．商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”，即一个长方体沿对角线斜解（图．得到一模一样的两个堑堵，再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图，得一个四棱锥称为阳马（图，一个三棱锥称为鳖臑（图．若某长方体的长为4，宽为2，高为2，记该长方体的体积为，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为，，，则下列选项不正确的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：，选项正确； ，选项正确； ，选项正确； ，选项不正确． 故选：． 简单组合体的表面积与体积 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥下部分的形状是正四棱柱，并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍．若，，求仓库的容积． 【解答】解