19.2.3一次函数与方程不等式讲义 2022--2023学年人教版八年级数学下册

一次函数与方程、不等式 知识点1 【一次函数与方程】 导入： 1号探测气球从海拔5 m 处出发，以1 m/min 的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔15 m 处出发，以0.5 m/min 的速度上升．两个气球都上升了1 h． 请用式子分别表示两个气球所在位置的海拔 y(单位：m)关于上升时间 x(单位：min)的函数关系． 分析：1号探测气球，y关于x的函数解析式为：y=x+5(0≤x≤60) 2号探测气球，y关于x的函数解析式为：y=0.5x+15(0≤x≤60) 问题1：如果把两个式子： y=x+5，y=0.5x+15 中的变量都看作未知数，那么这两个式子表示什么意义？ 【探究】一次函数与二元一次方程 发现：只要把未知数和变量的角色互换，则二元一次方程和一次函数就实现了互相转化. 【探究】 问题2：如果从形的角度看，它们之间又有什么联系呢？ 在同一坐标系内，(1)画出y=x+5的图象；(2)画出以方程x‒y=‒5的5个解为坐标的点.你有什么发现？ 【归纳】 以方程x‒y=‒5的解为坐标的点都在一次函数y=x+5的图象上，函数y=x+5图象上的点的坐标都是二元一次方程y=x+5的解. 【归纳】 一次函数与二元一次方程的关系的实质： 一般地，因为每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可以改写为y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线.这条直线上每个点的坐标(x，y)都是这个二元一次方程的解. 口诀：坐标是解， 解是坐标. 【探究】一次函数与二元一次方程组 我们知道含有相同未知数的二元一次方程组成的方程组一般有一个解，那么从函数的观点看，这有什么含义？让我们还是从气球的上升问题说起. 问题3：在某时刻两气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？你会从数和形两方面进行研究吗？ (1)从数量关系的角度研究 1号气球的高度与时间关系为y=x+5 2号气球的高度与时间关系为y=0.5x+15 在某时刻两个气球位于同一高度，就是说对于x的某个值(0≤x≤60)，函数y=x+5和y=0.5x+15有相同的值y.如果能求出这个x和y，则问题得到解决.由此容易得到解二元一次方程组. 即　　 解得 因此，气球上升20分钟时，它们的高度相同，都是25m. (2)从图形的角度研究 在同一坐标系中画出两个函数的图象，如右图. 发现：这两条直线的交点坐标为(20，25) 说明：当上升20min时，两个气球都位于海拔25m的高度. 【归纳】 由上可知，每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线. 从“数”的角度看：解二元一次方程组，相当于求自变量为何值时，相应的两个一次函数的值相等，以及这个函数值是多少. 从“形”的角度看：二元一次方程组的解，相当于确定两条相应直线交点的坐标 【典型例题】 【例1】下列各图象上点的坐标都是二元一次方程x‒2y=2的解的是 (　 ). 分析: 二元一次方程x‒2y=2一次函数y=x1 分别令x=0，y=0代入函数解析式，即可以求出函数图象与坐标轴的交点 故答案选C 【例2】请用图象法求方程组 的解. 解： 方程组整理，得 建立平面直角坐标系，分别作出一次函数y=x1与y=2x+2的图象，如右图所示. 则原方程组的解为 【归纳】 用图象法解二元一次方程组的步骤 第一步：转化，将方程组中的每个方程分别转化成一次函数解析式的形式; 第二步：画图象，在同一平面直角坐标系中分别画出这两个一次函数的图象； 第三步：找交点，分别写出这两个图象的交点的横、纵坐标，这两个值就是二元一次方程组的解中的两个数值. 【例3】方程组 解的情况如何？你能从函数的角度解释一下吗？ 分析：解二元一次方程 确定直线y=‒x+2与直线y=‒x+5的交点 【归纳】 你能从中悟出些什么呢？ (1)二元一次方程组无解对应一次函数的图象 平行 (无交点)； (2)二元一次方程组有一解对应一次函数的图象相交 (有一个交点)； (3)二元一次方程组有无数解一次函数的图象 重合 (有无数个交点). 【课堂练习】 练习1. 方程组 它可转化为两个一次函数 . 练习２. 在平面直角坐标系内，一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是 . 练习３．在平面直角坐标系中，直线y=‒2x+11与直线 的交点坐标为(4，3)，则方程组的解为 . 练习4. 若以二元一次方程x+2yb=0的解为坐标的点(x，y)都在直线 y=x+b1上，则常数b的值为 ( ) A. 0.5 B. 2 C. 1 D