第四章因式分解的应用讲义2022-2023学年北师大版八年级数学下册

因式分解的应用 考点一：利用因式分解求代数式的值 针对练习： 1.若则的值为 2.若，则= 3.的值为 4.已知，则代数式= 5.已知，则= 6.已知 7.已知，则代数式= 8. 已知|，则代数式= 9.已知 10.已知则 = 11.已知等腰△ABC中的三边长满足,则△ABC的周长为 12.已知,则= 考点二：利用因式分解求字母的值 针对练习： 1.已知其中a,b均为整数，则 2.若多项式可因式分解为则= 3.若是完全平方式，则k= 4.若 5.若100是一个完全平方展开式，则k= 考点三：利用因式分解判断三角形的形状 针对练习： 1.已知是△ABC的三边，且满足,请判断△ABC 的形状。 2.已知是△ABC的三边，且满足,请判断△ABC 的形状。 3.已知是△ABC的三边，且满足,请判断△ABC 的形状。 4. 已知是△ABC的三边，且满足,请判断△ABC 的形状。 考点五：利用因式分解求整式能被谁整除 针对练习： 1.利用因式分解说明：能被120整除。 2.对于任意的整数n,多项式（ ） A.被20整除 B.被7整除 C.被21整除 D.被（n+4）整除 3.若n为整数，则代数式 整除（最大的正整数） 4.对于任意的整数m,多项式 5.两个连续正奇数的平方差一定能（ ） A.被3整除 B.被5整除 C.被8整除 D.被16整除 6.能被11至20之间的两个整除整除，求这两个数 7.可以被60和70之间的某两个书整除，求这两个数 考点六小 阅读理解题 针对练习： 1．发现与探索． (1)根据小明的解答将因式分解； (2)根据小丽的思考，求代数式的最小值． 2．阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如 根据以上材料，解答下列问题， (1)分解因式（利用公式法）：． (2)已知的三边长a，b，c，且满足，求的最大边c的取值范围． 3．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 ∴ 解得：， ∴另一个因式为，m的值为-21． 问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值； (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值． 4．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程： 解：设，     （第一步）         （第二步）         （第三步） ．        （第四步） (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的（    ） A．提取公因式        B．两数和乘两数差公式 C．两数和的完全平方公式    D．两数差的完全平方公式 (2)该同学因式分解的结果并不彻底，请直接写出因式分解的最后结果：______． (3)请你模仿以上方法，尝试对多项式进行因式分解． 5．分解因式，观察发现，前两项符合平方差公式，后两项可以提公因式，变可以将式子因式分解，过程如下：，这样的因式分解方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)因式分解：； (2)已知的三边a，b，c满足，判断的形状． 6．请看下面的问题：把x4+4分解因式 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？ 19世纪的法国数学家苏菲•热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+22的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）人们为了纪念苏菲•热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲•热门的做法，将下列各式因式分解． （1）x4+64 （2）x4+4y4； （3）x2﹣2ax﹣b2+2ab． 7．阅读下列材料： 1637年笛卡尔在其《几何学》中，首次应用“待定系数法”将四次方程分解为两个二次方程求解，并最早给出因式分解定理． 他认为：对于一个高于二次的关于x的多项式，“是该多项式值为0时的一个解”与“这个多项式一定可以分解为（）与另一个整式的乘积”可互相推导成立． 例如：分解因式． ∵是的一个解，∴可以分解为与另一个整式的乘积． 设 而，则有 ，得，从而 运用材料提供的方法，解答以下问题： （1）①运