专题10 轻松搞定空间几何体的体积问题-2022-2023学年高一数学新教材同步配套教学讲义（苏教版2019必修第二册）

专题10 轻松搞定空间几何体的体积问题 【题型归纳目录】 题型一：直接法 题型二：割补法 题型三：换底法 题型四：祖暅原理 【典型例题】 题型一：直接法 例1．（天津市和平区2023届高三二模数学试题）如图甲是一水晶饰品，其对应的几何体叫星形八面体，也叫八角星体，是一种二复合四面体，它是由两个有共同中心的正四面体交叉组合而成且所有面都是全等的小正三角形，如图乙所示．若一星形八面体中两个正四面体的棱长均为2，则该星形八面体体积为（    ） A． B． C． D． 例2．（2023·山东东营·高二统考期末）已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是等腰三角形，，且球O的直径，则该三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 例3．（2023·江西南昌·统考二模）如图，A，B，C是正方体的顶点，，点P在正方体的表面上运动，若三棱锥的主视图、左视图的面积都是1，俯视图的面积为2，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 例4．（2023·北京·高二统考学业考试）如图，正方体的棱长为1，分别为棱上的动点，那么三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 题型二：割补法 例5．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知所有棱长均相等的三棱锥的体积为，把该三棱锥分别截去以为一个顶点的四个小正三棱锥如图所示，使得剩余的几何体的所有棱长均相等，则剩余几何体的体积为 （    ） A． B． C． D． 例6．（2023·天津·高一统考期中）陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，也称陀罗，图l是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中A是圆锥的顶点，B，C分别是圆柱的上、下底面圆的圆心，且，，底面圆的半径为1，则该陀螺的体积是（    ） A．π B．2π C． D． 例7．（2023·全国·高三专题练习）在多面体中，四边形为矩形，O，M分别为，BC的中点，，，，，． (1)求多面体的体积； (2)求三棱锥的体积． 例8．（2023·广东东莞·高一校考阶段练习）如图，在棱长为的正方体中，截去三棱锥，求 （1）截去的三棱锥的表面积； （2）剩余的几何体的体积. 例9．（2023·辽宁沈阳·高二学业考试）过棱长为2的正方体的三个顶点作一截面，此截面恰好切去一个三棱锥，则该正方体剩余几何体的体积为（    ） A．4 B．6 C． D． 例10．（2023·全国·高一专题练习）如图，在长方体中，是的中点，则三棱锥的体积为______. 题型三：换底法 例11．（2023·上海黄浦·高二上海市大同中学校考期中）如图，菱形的边长为，点为的中点，现以线段为折痕将折起使得点到达点的位置，且平面平面，点分别为的中点，若三棱锥的体积等于的值为__________. 例12．（2023·河南商丘·高三校联考阶段练习）如图，在体积为16的斜三棱柱中，P为棱上一点，三棱锥P-ABC的体积为4，则三棱锥的体积为（    ） A． B．2 C．3 D．4 例13．（2023·四川·高二四川省峨眉第二中学校校考阶段练习）是体积为的棱柱，则三棱锥的体积是（    ） A． B． C． D． 例14．（2023·全国·高一专题练习）已知三棱锥的体积为1，、、分别为OA、OB、OC的中点，则三棱锥的体积为___. 例15．（2023·全国·模拟预测）如图，已知四棱柱的体积为V，四边形ABCD为平行四边形，点E在上且，则三棱锥与三棱锥的公共部分的体积为（    ） A． B． C． D． 例16．（2023·高一课前预习）如图，在棱长为的正方体中，求三棱锥的体积． 题型四：祖暅原理 例17．（2023·全国·高三专题练习）祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等” ．例如可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R的圆柱与半径为R的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R，高为R的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用垂直于半径的平面去截半径为R的半球，且球心到平面的距离为，则平面所截得的较小部分（阴影所示称之为“球冠）的几何体的体积是（    ） A． B． C． D． 例18．（2023·河北邢台·高一河北南宫中学校考阶段练习）祖暅（gèng）（5世纪—6世纪），字景烁，祖冲之之子，范阳郡道县（今河北省涞水县）人，南北朝时期的伟大科学家.他在实践的基础上，于5世纪末提出了下面的体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”.这就是“祖暅原理”.用现代