专题11 轻松解决立体几何的轨迹问题-2022-2023学年高一数学新教材同步配套教学讲义（苏教版2019必修第二册）

专题11 轻松解决立体几何的轨迹问题 【题型归纳目录】 题型一：轨迹图形 题型二：轨迹长度 题型三：轨迹面积 【典型例题】 题型一：轨迹图形 例1．（2023·全国·高一专题练习）四棱柱的底面为正方形，侧棱与底面垂直，点是侧棱的中点，，若点在侧面(包括其边界)上运动，且总保持，则动点的轨迹是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】正四棱柱截去下半部分，剩余部分为正方体， 如图所示：连接， 由正方体性质易知，平面， 所以，， 因为，所以平面， 所以，同理可得， 因为， 可得平面， 即动点在侧面（包括其边界）上的运动轨迹为线段 故选：D 例2．（2023·高一课时练习）在三棱台A1B1C1﹣ABC中，点D在A1B1上，且AA1∥BD，点M是内（含边界）的一个动点，且有平面BDM∥平面A1C，则动点M的轨迹是（    ） A．平面 B．直线 C．线段，但只含1个端点 D．圆 【答案】C 【解析】过D作DN∥A1C1，交B1C1于N，连结BN， 由于平面,平面，所以平面. ∵在三棱台A1B1C1﹣ABC中，点D在A1B1上，且AA1∥BD， 且平面,平面， ∴平面. ∵AA1∩A1C1＝A1，BD∩DN＝D， ∴平面BDN∥平面A1C， ∵点M是内（含边界）的一个动点，且有平面BDM∥平面A1C， ∴M的轨迹是线段DN，且M与D不重合， ∴动点M的轨迹是线段，但只含1个端点. 故选：C 例3．（2023·全国·高一万年中学校考阶段练习）四棱锥底面为正方形，侧面为等边三角形，且侧面底面，点在底面正方形内运动，且满足，则点在正方形内的轨迹一定是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，可知，则点符合“点在正方形内的一个动点”， 且满足， 设的中点为，根据题目条件可知和全等， 所以，点也符合“点在正方形内的一个动点，且满足”， 故动点的轨迹肯定过点和点， 而到点到点的距离相等的点为线段的垂直平分面， 线段的垂直平分面与平面的交线是一直线， 所以的轨迹为线段. 故选：A. 例4．（2023·全国·高一专题练习）如图，在正方体中，点在侧面及边界上运动并保持，在图中画出点的运动轨迹． 【解析】先找到一个平面总是保持与垂直，连接，，， 在正方体中，平面，平面,故； 又,于点，故平面， 又平面,故； 同理可得,又于点，故平面； 又点在侧面及其边界上运动，根据平面的基本性质得： 点的轨迹为平面与平面的交线段． 例5．（2023·全国·高一专题练习）如图，在正四棱锥中，是的中点，点在侧面内及其边界上运动，并且总是保持平面．则动点的轨迹与组成的相关图形最有可能是图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】分别取、的中点、，连接，，， 又∵是的中点，∴，， 又∵面，面， ∴面，面， 又∵， 平面，∴面面， ∴当在上移动时，面，此时能够保持平面， 则动点的轨迹与组成的相关图形是选项A 故选：A． 例6．（2023·高一课时练习）如图所示，四棱锥的底面为正方形，侧面为等边三角形，且侧面底面，点在正方形内运动，且满足，则点在正方形内的轨迹一定是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，可知，则点符合“点在正方形内的一个动点，且满足”， 设的中点为， 因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 根据题目条件可得，所以和全等， 所以，点也符合“点在正方形内的一个动点，且满足”， 故动点的轨迹肯定过点和点， 而到点到点的距离相等的点为线段的垂直平分面， 线段的垂直平分面与平面的交线是一直线， 所以的轨迹为线段， 故选：B 题型二：轨迹长度 例7．（2023·高一课时练习）如图所示，在棱长为a的正方体ABCD -A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，F是侧面CDD1C1上的动点，且B1F∥平面A1BE，则F在侧面CDD1C1上的轨迹的长度是（    ） A．a B． C． D． 【答案】D 【解析】设G，H，I分别为CD，CC1，C1D1边上的中点， 连接B1I，B1H，IH，CD1，EG，BG，则∥∥, 所以 A1，B，E，G四点共面， 由∥平面B1HI，平面B1HI， 所以A1E∥平面B1HI，同理A1B∥平面B1HI， ，所以平面A1BGE∥平面B1HI， 又因为B1F∥平面A1BE，所以F落在线段HI上， 因为正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为a， 所以， 即F在侧面CDD1C1上的轨迹的长度是. 故选：D. 例8．（2023·全国·高一专题练习）已知菱形边长为2，，沿对角线折叠成三棱锥，使得二面角为60°，设为的中点，为三棱锥表面上动点，且总满足，则点轨迹的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】连接，交于点，连