7.3.1离散型随机变量的均值 课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.3 离散型随机变量的数字特征 第七章 随机变量及其分布 7.3. 离散型随机变量的均值 复习回顾 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2， ‧‧‧ ，xn，则X的概率分布列为： 1. 离散型随机变量的分布列 2.两点分布或0—1分布 X 0 1 P 1-p p 定值 X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 离散变量的分布列可以用表格表示，如下表所示. 求概率 列表 离散型随机变量的分布列全面地刻画了这个随机变量的取值规律.但在解决有些实际问题时，直接使用分布列并不方便。 离散型随机变量的数字特征——一组数据的均值和方差 样本均值： 样本方差： 已知一组样本数据：x1，x2，…，xn 反映这组数据相对于平均值的集中程度的量 例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。 问题1 甲、 乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如下表所示. 环数X 7 8 9 10 甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4 乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2 如何比较他们射箭水平的高低呢? 分析：类似两组数据的比较，首先比较击中的平均环数，比较两名射箭运动员的射击水平。 问题1 甲、 乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如下表所示. 环数X 7 8 9 10 甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4 乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2 如何比较他们射箭水平的高低呢? 解：假设射箭n次，甲n次射箭射中的平均环数为： =9 当n足够大时，频率稳定于概率 乙n次射箭射中的平均环数为： =8.65 从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高. 随机变量的均值 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示， X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 则称 为随机变量X的均值或数学期望， 数学期望简称期望. 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平.即：均值E(X)刻画的是X取值的“中心位置”,这是随机变量X的一个重要特征. 权数 加权平均数 观察 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数X的均值为3.5. 随机模拟这个试验，重复60次和重复300次各做6次，观测出现的点数并计算平均数. 根据观测值的平均数(样本均值)绘制统计图，分别如图 (1)和(2)所示. 观察图形，在两组试验中，随机变量的均值与样本均值有何联系与区别? 　样本平均值和随机变量均值的区别与联系 ①区别:随机变量的均值是一个常数,它不依赖于样本的抽取,而样本的平均值是一个随机变量,它随样本的不同而变化； ②联系:对于简单随机样本,随着样本容量的增加样本的平均值越来越接近于总体的均值.因此我们常用样本的平均值估计总体的均值. 归纳求离散型随机变量期望（均值）的步骤: 求随机变量的分布列 (1)确定取值：根据随机变量X的意义,写出X可能取得的全部值； (2)求概率：求X取每个值的概率； (3)写分布列：写出X的分布列（表格）； (4)求均值：由期望（均值）的定义求出E(X) 例1 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分. 如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值是多少? 由题意得，X的所有取值为：0,1，则： 解： 即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8. 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么 所以X的分布列为： X 0 1 P 0.2 0.8 例2 抛掷一枚质地均匀的骰子， 设出现的点数为X，求X的均值. 由题意得，X的所有取值为：0,1，则： 解： 即点数X的均值是3.5. 所以X的分布列为： X 1 2 3 4 5 6 P 例3 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表7. 3-3所示. 规则如下: 按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首.求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值. 分析：公益基金总额X的可能取值有几种情况？ 歌曲 A B C 猜对的概率 0.8 0.6 0.4 获得的公益基金额/元 1000 2000 3000 由题意可得，X的可能取值为0，1000，3000，6000，则X的分布列为 解： 例3 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜