8.6.2直线与平面垂直 导学案-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

高一数学必修第二册第八章导学案 8.6 空间直线、平面的垂直 8.6.2 直线与平面垂直 【学习目标】 1. 从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面的垂直关系． 2．归纳出直线与平面垂直的判定定理． 3．了解直线与平面所成的角． 【自主学习】 1． 直线与平面垂直 (1)定义: 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直; (2)记法: l⊥α; (3)有关概念: 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足; (4)图示及画法: 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直; 2． 直线与平面垂直的判定定理 (1)文字语言: 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直; (2)符号语言: l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α (3)图形语言: 3.直线和平面所成的角 (1)有关概念 ①斜线: 一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线; ②斜足: 斜线和平面的交点A叫做斜足; ③射影: 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影; ④对应图形: (2)直线与平面所成的角 ①定义: 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角 ②规定: 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0° ③范围: 直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90° 4. 直线与平面垂直的性质定理 (1)文字语言: 垂直于同一个平面的两条直线平行 (2)符号语言:⇒a∥b (3)图形语言: 5. 线面距与面面距 (1)一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离． (2)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离． 【教学过程】 例1.求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面. 已知：如图8.6-12，，，求证. 例2. 如图8.6-15，在正方体中，求直线和平面所成的角. 例3. 如图8.6-19，直线l平行于平面，求证：直线l上各点到平面的距离相等. 例4. 推导棱台的体积公式:，其中，S分别是棱台的上、下底面面积，h是高. 例5. 如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1. (1)求证：A1C⊥B1D1. (2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证：MN∥A1C. 【当堂检测】 1. 如果两条直线和一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行吗？ 2. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，求证：平面. 3. 如图，在直四棱柱中，当底面四边形满足什么条件时，？ 4.过所在平面外一点P，作，垂足为O，连接. （1） 若，则点O是的______心. （2） 若，，则点O是边的______. （3）若，，，垂足都为P，则点O是的_____心. 5. 已知直线和平面，若，，则与的位置关系是______. 6. 已知两点在平面的同侧，且它们与的距离相等，求证：直线. 7. 如图，和都垂直于平面，且，F是的中点，求证：平面. 8. 求证：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.（提示：过这条直线作平面与这两个平面相交，则它们的交线平行.） 9.如图，在三棱锥P­ABC中，PA＝BC＝3，PC＝AB＝5，AC＝4，PB＝. (1)求证：PA⊥平面ABC. (2)过C作CF⊥PB于点F，在线段AB上是否存在一点E，使得PB⊥平面CEF？若存在，求BE的长；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $