19.6一次函数与方程、不等式-【题型·技巧培优系列】2022-2023学年八年级数学下册同步精讲精练(人教版)

八年级下册数学《第十九章 一次函数》 19.6 一次函数与方程、不等式 知识点一 一次函数与一元一次方程的关系 ◆1、由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝ax+b确定它与x轴交点的横坐标值． ◆2、对于一次函数y＝ax+b（a≠0），已知x的值求y的值，或已知y的值求x的值时，就是把问题转化为关于y或x的一元一次方程来解. ◆3、一元一次方程ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）与一次函数y＝ax+b（a，b为常数，a≠0）的关系如下： （1）ax+b＝0（a≠0）的解⇔函数y＝ax+b（a≠0）中，y=0时，x的值. （2）ax+b＝0（a≠0）的解⇔直线y＝ax+b（a≠0）与x轴交点的横坐标. ◆4、用一次函数的图象解一元一次方程的一般步骤： ①转化：将一元一次方程转化为一次函数； ②画图象：画出一次函数的图象； ③找交点：找出一次函数的图象与x轴交点的横坐标，即为一元一次方程的解. 知识点二 一次函数与一元一次不等式的关系 ◆1、一次函数与一元一次不等式的关系: 从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． ◆2、用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或kx+b＜0） 对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（，0）． 当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x，不等式kx+b＜0的解为：x； 当k＜0时，不等式kx+b＞0的解为：x，不等式kx+b＜0的解为：x． 知识点三 一次函数与二元一次方程（组）的关系 ◆一次函数与二元一次方程（组）的关系： 一般地，因为每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可以改写为y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应着一个一次函数，于是也对应着一条直线，这条直线上每个点的坐标（x, y）都是这个二元一次方程的解.因此，由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的二元一次方程组都对应两个一次函数，也就是两条直线. 从“数”的角度看，解方程组，相当于当求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解方程组，相当于确定的两条直线的交点坐标. 题型一 利用一次函数解一元一次方程 【例题1】（2022秋•中卫期中）已知一次函数y＝2x+n的图象如图所示，则方程2x+n＝0的解可能是（　　） A．x＝1 B．x C．x D．x＝﹣1 解题技巧提炼 解关于x 的一元一次方程ax+b＝0（a，b为常数，a≠0），从“数”的角度来看,相当于当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值；从“形”的角度来看，相当于已知直线y＝ax+b确定它与x轴交点的横坐标值． 【变式1-1】（2022春•武邑县校级期末）如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点P（﹣3，2），则关于x的方程kx+b＝2的解是（　　） A．x＝1 B．x＝2 C．x＝﹣3 D．无法确定 【变式1-2】（2022秋•淮北月考）如图，直线y＝ax+b过点（0，﹣2）和点（﹣3，0），则方程ax+b+1＝0的解是（　　） A．x＝﹣3 B．x＝﹣2 C．x＝﹣1.5 D．x＝﹣1 【变式1-3】（2023•临渭区一模）已知直线y＝﹣3x与y＝kx+2相交于点P（m，3），则关于x的方程kx+2＝﹣3x的解是（　　） A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3 【变式1-4】（2022春•阜平县期末）若关于x的方程﹣2x+b＝0的解为x＝2，则直线y＝﹣2x+b一定经过点（　　） A．（2，0） B．（0，2） C．（4，0） D．（2，5） 【变式1-5】（2022•海珠区校级二模）已知一次函数y＝ax+2的图象与x轴的交点坐标为（3，0），则一元一次方程ax+2＝0的解为（　　） A．x＝3 B．x＝0 C．x＝2 D．x＝a 【变式1-6】（2022春•凤山县期末）已知函数y＝kx+b的部分函数值如表所示，则关于x的方程kx+b﹣5＝0的解是（　　） x … ﹣1.5 0 1 2 … y … 6 3 1 ﹣1 … A．1 B． C．﹣1 D． 题型二 利用解一元一次方程确定一次函数与坐标轴交点坐标 【例题2】（2022秋•丰顺县校级期末）已知方程kx+b＝0的解是x，则函数y＝kx+b的图象可能是（　　） A． B． C． D． 解题技巧提炼 交点法：求一次函数的图象与坐标轴的交点，令y=0，解方程即得与x轴的交点； 令x=0，解方程即得与y轴的交点 .