以“折”为“辙” ——基于2021年宁波市中考数学第十六题说题 说 题 课件 2022-2023学年数学浙教版九年级下册

以“折”为“辙” ——基于2021年宁波市中考数学第十六题说题 说 题 流 程 原题呈现 说思维和思路 说拓展与变式 说价值 说分析与联想 说知识内容 如图,在矩形ABCD中,点E在边AB上,△BEC与△FEC关于直线EC对称,点B的对称点F在边AD上,G为CD中点,连接BG分别与CE、CF交于M,N两点,若BM=BE,MG=1,则BN的长为 ,sin∠AFE的值为 。 一、原题呈现——2021年宁波市中考数学第十六题 本题涉及的知识点较多。主要包含图形翻折性质、等腰三角形、平行线、菱形、相似三角形、全等三角形的判定和应用、射影定理、三角函数的定义和转化思想等。 二、说知识内容——考点分析 三、说分析与联想 如图,在矩形ABCD中,点E在边AB上,△BEC与△FEC关于直线EC对称,点B的对称点F在边AD上,G为CD中点,连接BG分别与CE、CF交于M,N两点,若BM=BE,MG=1,则BN的长为 ,sin∠AFE的值为 。 1、找出相等的角: 除了矩形4个直角外, 由对称可得:∠EFC=∠ABC=90°,一线三垂直可得∠AFE=∠DCF 由BM=BE,可得∠BME=∠BEM ∟ ∟ ∟ 2、找出特殊四边形: 由对称可得BE=EF,BM=MF 又BM=BE,可得菱形BEFM 三、说分析与联想 如图,在矩形ABCD中,点E在边AB上,△BEC与△FEC关于直线EC对称,点B的对称点F在边AD上,G为CD中点,连接BG分别与CE、CF交于M,N两点,若BM=BE,MG=1,则BN的长为 ,sin∠AFE的值为 。 4、找出相似三角形或全等三角形: 由对称可得△BEC≌△FEC,由一线三垂直可得△AEF∽△DFC 由AB∥CD且菱形中FM∥EB,可得△FMN∽△CGN, ∠AEF=∠ABG=∠BGC △AEF∽△CGB,∠FNB=90° 射影定理 3、找出相等线段: 除矩形对边相等外 由对顶角和内错角又知∠CMG=∠GCM,GM=GC,DC=2 ∟ 三、说分析与联想 如图,在矩形ABCD中,点E在边AB上,△BEC与△FEC关于直线EC对称,点B的对称点F在边AD上,G为CD中点,连接BG分别与CE、CF交于M,N两点,若BM=BE,MG=1,则BN的长为 ,sin∠AFE的值为 。 5、逆向思维分析: ①求BN的长,基本思路通过勾股定理,三角形相似得出比例式,三角形全等等于已知或易求得的线段。 ②求sin∠AFE的值,基本思路利用定义或通过相等的角转化。 第一小问引用了翻折中“边等”、“角等”的隐含条件,引导我们利用三角形全等的判定找出BN、AB和CD相等的关系。连接BF,FM,由翻折及BM=ME可得四边形BEFM为菱形,可证△ABF≌△NBF,可得BN=BA。 CD=AB=2 四边形BEFM为菱形 ∠ABF=∠NBF △ABF≌△NBF BN=AB=2 (1)思维点拨 四、说思维和思路 解法一评析:这种解法利用线段平行证明△FNM和△CNG相似,突出“X”型相似的运用,再运用对应边列出比例式解方程。 第二小问中结合了主题干和支题干所得出的结论,利用菱形四边相等的关系和相似三角形各边的关系列出比例式。 (2)思维点拨 四、说思维和思路 解法一:证明△FMN∽△CGN可得 = ,进而求解 菱形BEFM △FMN∽△CGN x=2- ∴sin∠AFE= ﹣1 1-x 2-x 2-x x x 1 2-x 2-x x 1-x 1 四、说思维和思路 解法二:证明△AEF∽△CGB可得 ,由此出发进行求解 解:菱形BEFM △AEF∽△CGB x=2﹣ ∴sin∠AFE= ﹣1 解法二评析:这种解法利用EF∥BG,证明△AEF和△CGB相似,用对应边列出比例式。着重培养了我们运用菱形性质和判定三角形相似的能力。本解法与解法一有异曲同工之妙,需要结合菱形的判定和相似三角形判定的相关知识。 2-x 1 2-x 2-x 1 x 四、说思维和思路 解法三评析:此解法较于前两种解法有所不同但更加简便。运用三角形中的垂直关系,借助射影定理列出关于NG的方程。还需要运用一线三垂直,将题中所要求的sin∠AFE转化到求sin∠NCG上。此解法需要我们掌握并熟练运用射影定理。 解法三:由射影定理得出等式 CG=MG=1 NG= sin∠AFE= 变式1:如图,在矩形ABCD中,点E在边AB上,△BEC与△FEC关于直线EC对称,点B的对称点F在边AD上,CD=3CG,连接BG分别与CE、CF交于M,N两点,若BM=BE,MG=1,则BN的长为 ,sin∠AFE的值为 。 五、说拓展与变式 1、横向拓展——变条件 略解:易得CD=3 菱形EBMF ∠ABF=∠NBF △ABF≌△NBF BN=AB=CD=3 拓展反思:此拓展改变题中CG与CD的数量关系,实质上