专题16 随机事件与概率-【备考先锋必刷题】2022-2023学年高一数学下学期期中期末复习（人教A版2019必修第二册）

体系搭建 一．随机事件 1．定义：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．（或“偶然性事件”） 2．特点： （1）随机事件可以在相同的条件下重复进行； （2）每个试验的可能结果不止一个，并且能事先预测试验的所有可能结果； （3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现． 3．注意： （1）随机事件发生与否，事先是不能确定的； （2）必然事件发生的机会是1；不可能事件发生的机会是0；随机事件发生的机会在0﹣1之间，0和1可以取到． （3）要判断一个事件是必然事件、随机事件、还是不可能事件，要从定义出发． 二．互斥事件与对立事件 1．互斥事件 （1）定义：一次试验中，事件A和事件B不能同时发生，则这两个不能同时发生的事件叫做互斥事件． 如果A1，A2，…，An中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件A1，A2，…An彼此互斥． （2）互斥事件的概率公式： 在一个随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，则有：P（A+B）＝P（A）+P（B） 注：上式使用前提是事件A与B互斥． 推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件发生（即A1，A2，…，An中有一个发生）的概率等于这n个事件分别发生的概率之和，即： P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An） 2．对立事件 （1）定义：一次试验中，两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，事件A的对立事件记做． 注：①两个对立事件必是互斥事件，但两个互斥事件不一定是对立事件； ②在一次试验中，事件A与只发生其中之一，并且必然发生其中之一． （2）对立事件的概率公式：P（）＝1﹣P（A） 3．互斥事件与对立事件的区别和联系 互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生．因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件． 三．古典概型及其概率计算公式 1．定义：如果一个试验具有下列特征： （1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个； （2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的． 则称这种随机试验的概率模型为古典概型． *古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可． 2．古典概率的计算公式 如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是； 如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）＝＝． 解题技巧 1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数． 因此要注意清楚以下三个方面： （1）本试验是否具有等可能性； （2）本试验的基本事件有多少个； （3）事件A是什么． 2．解题实现步骤： （1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意； （2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A； （3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m； （4）利用公式P（A）＝求出事件A的概率． 3．解题方法技巧： （1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率 （2）利用分析法求解古典概型． 四.概率的基本性质 （1）概率的取值范围：[0，1]． （2）必然事件的概率为1． （3）不可能事件的概率为0． （4）互斥事件的概率的加法公式： 如果事件A，B互斥时，P（A+B）=P（A）+P（B），如果事件A1，A2，…An彼此互斥时，那么P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）． 如果事件A，B对立事件，则P（A+B）=P（A）+P（B）=1． 注意事项： ①特别的，若事件B与事件A互为对立事件，则A∪B为必然事件，P（A∪B）=1．在由加法公式得到P（A）=1-P（B） ②若某事件发生当且仅当事情A发生或B发生，则称此事件为事件A与B的并事件，记作（A∪B） ③若某事件发生当且仅当事件A发生且B发生，则称此事件为事件A与B的交事件，记作（A∩B） ④若C∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件D与事件A互为对立事件，其含义是：事件F与事件E在任何一次实验中有且仅有一个发生． 互斥事件的概率加法公式： 在一个随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，则有： P（A+B）=P（A）+P（B） 注：上式使用前提是事件A与B互斥． 推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件发生（即A1，A2，…，An中有一个发生）的概率等于