8.2 消元-解二元一次方程组-【高分突破系列】2022-2023学年七年级数学下册同步知识点剖析精品讲义（人教版）

8.2 消元-解二元一次方程组 消元的思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为熟悉的一元一次方程，即可先求出一个未知数，然后再求另一个未知数。这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元的思想。 方法一：代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这个方法叫做代入消元法，简称代入法。 【基本思路】：未知数由多变少。 代入消元法解二元一次方程组的一般步骤： （变代解求写验） ①变：将其中一个方程变形，使一个未知数用含有另一个的未知数的代数式表示。 ②代：用这个代数式代替另一个方程中的相应未知数，得到一元一次方程。 ③解：解一元一次方程 ④求：把求得的未知数的值带入代数式或原方程组中的任意一个方程中，求得另一个未知数的值。 ⑤写：写出方程组的解。 ⑥验：将方程组的解带入到原方程组中的每个方程中，若各方程均成立，则这对数值就是原方程组的解，负责解题有误。 方法二 加减消元法：两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。 加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： （变加减解求写验） ①变形：将两个方程中其中一个未知数的系数化为相同（或互为相反数）。 ②加减：通过相减（或相加）消去这个未知数，得到一个一元一次方程。 ③求解：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值。 ④回代：将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值。 ⑤写解：写出方程组的解。 ⑥检验：将方程组的解带入到原方程组中的每个方程中，若各方程均成立，则这对数值就是原方程组的解，负责解题有误。 方法三 换元法：根据方程组各系数的特点，可将方程组中的一个方程或方程的一部分看成一个整体，带入另一个方程中，从而达到消去其中一个未知数的目的，并求得方程的解。 例 (x+5)+(y-4)=8 　　 (x+5)-(y-4)=4 令x+5=m,y-4=n 　　原方程可写为 m+n=8 解得m=6,n=2 所以 x=1 m-n=4 所以x+5=6,y-4=2 y=6 特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。 解三元一次方程的基本步骤： 1.变形（变三元一次为二元一次） 2.求解：解二元一次方程组 3.回代：将求得的未知数的值代入原方程组的一个适当的方程中，得到一个一元一次方程 4.求解：解一元一次方程，求出第三个未知数 5.写解：用大括号将所求的的三个未知数的值联立起来，即得原方程组的解。   【题型一】利用代入消元法/加减消元法解二元一次方程组 【典题】 （2023春·湖南长沙·七年级期中）解方程组：(1)(2) 巩固练习 1．（）（2022春·黑龙江大庆·七年级大庆一中校考期末）解下列方程组 (1)(2) 2．（）（2022春·广东广州·七年级校联考期中）分别用代入法和加减法解方程组：． 3．（）（2022春·黑龙江大庆·七年级大庆市第六十九中学校考期末） （1）；（2）；（3）；（4）． 【题型二】二元一次方程组特殊解法 【典题】（2022春·山东济宁·七年级统考期末）已知是方程组的解，求的值． 巩固练习 1．（）（2023春·七年级课时练习）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法： 解：由①得 将③代入②得：，即 把代入③得， ∴方程组的解为 请你模仿小军的“整体代入”法解方程组，解方程． 2．（）（2023秋·广西崇左·七年级统考期末）阅读下列解方程组的方法，然后解决问题． 解方程： 解：①-②，即③ ③×16，得④ ②-④，得． 把，代入③，得．解得． 所以原方程组的解为： (1)请仿照上面的方法解方程组：； (2)请猜想关于x，y的方程组的解，并利用方程组的解加以验证 3．（）（2021春·浙江宁波·七年级校联考期中）若方程组的解是，求方程组的解． 4．（）（2023春·七年级课时练习）根据要求，解答下列问题 (1)解下列方程组（直接写出方程组的解即可）： ①的解为 ；②的解为 ；③的解为 ； (2)以上每个方程组的解中，x值与y值的大小关系为 ． (3)请你构造一个具有以上外形特征的方程组，并直接写出它的解． 【题型三】二元一次方程组错解复原 【典题】（2021春·浙江宁波·七年级校考期中）甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的