6.1 平方根 讲义 2022～2023学年人教版七年级下册数学

第六章 实数 6.1 平方根 1．算术平方根 （1）定义： 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根． （2）表示方法 a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫被开方数． （3）算术平方根的性质 ①正数a的算术平方根为； ②0的算术平方根是0，即=0； ③负数没有算术平方根． 2．平方根 （1）平方根的概念 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的平方根或二次方根． 【注意】在这里，a是x的平方数，它的值是正数或零，因为任何数的平方都不可能是负数，即a≥0． （2）开平方的概念 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 3．平方根与算术平方根的区别 （1）定义不同； （2）个数不同，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而一个正数的算术平方根只有一个； （3）表示方法不同，正数a的平方根表示为，正数a的算术平方根表示； （4）取值范围不同，正数的算术平方根一定是正数，正数的平方根为一正一负． 【考向1】算术平方根 自学笔记：算术平方根具有双重非负性：被开方数a是非负数，即a≥0；算术平方根本身是非负数，即≥0． 【精讲1】4的算术平方根是　　 A．16 B． C． D．2 【分析】依据算术平方根的定义求解即可． 【解答】解：， 的算术平方根是2． 故选：． 【精讲2】下列说法错误的是　　 A．4的算术平方根是2 B． C．的算术平方根是3 D．的算术平方根是9 【分析】根据算术平方根的定义即可进行判断． 【解答】解：的算术平方根是2，故选项正确，不符合题意； 的算术平方根是2，即，故选项正确，不符合题意； ，9的算术平方根是3，故选项正确，不符合题意； ，9的算术平方根是3，不是9，故选项错误，符合题意； 故选：． 【精讲3】的算术平方根是　　 A． B．3 C．9 D． 【分析】根据算术平方根的定义解答即可． 【解答】解：， 的算术平方根是9． 故选：． 【精讲4】的算术平方根是　　 A． B． C． D． 【分析】利用算术平方根的定义求解即可． 【解答】解：， 的算术的平方根是． 故选：． 【练习1】下列结果错误的有　　 A． B．的算术平方根是4 C．的算术平方根是 D．的算术平方根是 【分析】依据算术平方根、有理数的乘方法则求解即可． 【解答】解：、原式，故正确，与要求不符； 、，4的算术平方根是2，故错误，与要求相符； 、，它的算术平方根是，故正确，与要求不符； 、，的算术平方根是，故正确，与要求不符． 故选：． 【练习2】的算术平方根是　　 A． B．6 C． D． 【分析】先求出36的算术平方根，然后再求6的算术平方根即可． 【解答】解：， 的算术平方根为． 故选：． 【练习3】下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】运用平方根的概念进行求解． 【解答】解：， 选项不符合题意； 没有平方根， 选项不符合题意； ， 选项符合题意； ， 选项不符合题意， 故选：． 【练习4】169的算术平方根是，则　　． 【分析】先求出169的算术平方根，再求出的值即可． 【解答】解：， ，解得． 故答案为：． 【考向2】平方根 自学笔记：平方根的性质 ①一个正数a有两个平方根，其中一个是“”，另一个为“-”，它们互为相反数； ②0的平方根是0； ③负数没有平方根． 【精讲1】2的平方根是　　 A． B． C． D．2 【分析】根据平方根的定义解答． 【解答】解：， 的平方根是． 故选：． 【精讲2】平方根是的数是　　 A． B． C． D． 【分析】根据平方根的定义即可求解． 【解答】解：， 平方根是的数是， 故选：． 【精讲3】平方根等于本身的数是　　 A． B．0 C．1 D．0， 【分析】根据平方根的定义选项． 【解答】没有平方根，0有平方根是0，1有平方根是， 故选：． 【精讲4】下列判断： ①0.25的平方根是0.5； ②只有正数才有平方根； ③的平方根是； ④是的一个平方根． 其中正确的有　　个． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据平方根的定义解答即可． 【解答】解：①0.25的平方根是，原说法错误； ②只有正数才有平方根，0也有平方根，原说法错误； ③的平方根是，原说法正确； ④不是的平方根，负数没有平方根，原说法错误． 所以正确的有1个； 故选：． 【精讲5】的平方根是　　 A． B． C． D．0.36 【分析】根据平方根的计算方法计算即可． 【解答】解：的平方根是， 故选：． 【精讲6】计算：　　 A． B． C． D． 【分析】因为，根据二次根式的性质直接化简即可． 【解答】解：， ． 故选：． 【练习1】的平方根是　　 A．4 B． C．2 D． 【分析】先根据负数的绝对值等于它的相反数求出，再根据平方根的定义进