秘籍05 立体几何小题：截面与球（7个题型）-备战2023年高考数学抢分秘籍（新高考专用）

秘籍05 立体几何小题：截面与球 概率预测 ☆☆☆☆ 题型预测 选择题、填空题☆☆☆☆☆ 考向预测 外接球表面积与体积最值问题 立体几何的考察主要会以截面、组合体外接球和内切球以及轨迹动点求最值等的形式来考察学生对于空间想象能力的考察，难度不小，一般会出现在选填的压轴题里，也有可能出现在多选以多个维度去考察。这里主要对各个题型进行总结，需要在掌握题型的基础上锻炼自己的空间想象能力。 【题型一】 截面最值 求截面方法： 1. 平行线法： （1）利用两条平行线确定一个平面， （2）一个平面与两个平行平面相交，交线平行 1. 相交线法： 1. 两条相交直线确定一个平面 1. 若两个相交平面中一条直线与棱不平行，则与棱的交点，也在另一个平面内 1. 正方体为棱长为2，动点，分别在棱，上，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为，设，，其中，，下列命题正确的是_____．（写出所有正确命题的编号） ①当时，为矩形，其面积最大为4；②当时，的面积为；③当，时，设与棱的交点为，则；④当时，以为顶点，为底面的棱锥的体积为定值． 2.如图，长方体中，AB=BC=4，，M是线段的中点，点N在线段上，MNBD，则长方体被平面AMN所截得的截面面积为___________. 3.如图，在正四棱台中，上底面边长为4，下底面边长为8，高为5，点分别在上，且.过点的平面与此四棱台的下底面会相交，则平面与四棱台的面的交线所围成图形的面积的最大值为 A． B． C． D． 1．（2023·重庆九龙坡·统考二模）正多面体统称为柏拉图体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成（各面都是全等的正多边形，且每个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成的二面角都相等），正多面体共有5种，它们分别是正四面体､正六面体（即正方体）､正八面体､正十二面体､正二十面体.连接正方体中相邻面的中心（如图1），得到另一个柏拉图体，即正八面体（如图2），设分别为的中点，则下列说法正确的是（    ） A．与为异面直线 B．经过的平面截此正八面体所得的截面为正五边形 C．平面平面 D．平面平面 2．（2023·贵州·统考模拟预测）如图，某环保组织设计一款苗木培植箱，其外形由棱长为2（单位：）的正方体截去四个相同的三棱锥（截面为等腰三角形）后得到.若将该培植箱置于一球形环境中，则该球表面积的最小值为___________ 3．（2023·宁夏吴忠·高三统考阶段练习）已知表面积为54的正方体的顶点都在球O上，过球心O的平面截正方体所得的截面过正方体相对两棱，的中点F，E，设该截面与及的交点分别为M，N，点P是正方体表面上一点，则以截面EMFN为底面，以点P为顶点的四棱锥的体积的最大值为___________. 【题型二】 球截面 用一个平面去截球，若平面经过球心，所得的截面称为球的大圆；若平面不经过球心，所得的截面称为球的小圆。小圆圆心与球心的连线必垂直于小圆面。 1. 在三棱锥A－BCD中，，∠ADC＝∠ABC＝90°，平面ABC⊥平面ACD，三棱锥A－BCD的所有顶点都在球O的球面上，E，F分别在线段OB，CD上运动（端点除外），．当三棱锥E－ACF的体积最大时，过点F作球O的截面，则截面面积的最小值为（    ） A．π B． C． D．2π 2.已知一个正四面体的棱长为2，则其外接球与以其一个顶点为球心，1为半径的球面所形成的交线的长度为___________. 3.在正四棱锥中，已知，为底面的中心，以点为球心作一半径为的球，则平面截该球的截面面积为________． 1．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）已知四棱锥的各个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，，，，，M是线段AB上一点，且．过点M作球O的截面，所得截面圆面积的最小值为，则＝___． 2．（2021春·浙江·高一期末）已知三棱锥四个顶点都在球O上，面ABC，，，D是BC的中点，过点D作球O的截面，则截面面积的最小值是___________． 3．（2023·河南郑州·统考二模）已知三棱锥P－ABC的各个顶点都在球O的表面上，，，，平面PBC⊥平面ABC，若点E满足，过点E作球O的截面，则所得截面面积的取值范围为______． 【题型三】 线面垂直型求外接球 线面垂直型： 存在一条棱垂直一个底面（底面是任意多边形，实际是三角形或者四边形（少），它的外接圆半径是r，满足正弦定理） 1.模板图形原理 图1 图2 2.计算公式 1.已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，，若球O的表面积为16π，则三棱锥S－ABC的体积的最大值为（    ） A． B．3 C． D．6 2.已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA