04 向量法求直线与平面所成角 小阶段经典题讲解+训练（基础版）-2022-2023学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

记住基础知识，用基础知识做题，不犯低级错误。 练习题 1.已知直线的方向向量为，平面的法向量为，且与所成角的正弦值为，则的值为 . 2.在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为CC1的中点，则直线A1B与平面BDE所成的角为 . 3．在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,AB∥CD,AD⊥CD ,PD=AD=DC=2AB，则直线与平面所成角的正弦值为__________． 4.如图，AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AD∥BC, AD⊥AB ,AB=AD=1,AE=BC=2， 求直线CE与平面BDE所成角的正弦值； 5.已知三棱锥S-ABC中，底面为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，M为SC的中点，则直线AB与平面SBC所成角的正切值为 . 6.如图，已知四棱锥P-ABCD底面是边长为的正方形， PB=PD=,PC=2,E是侧棱PC上的点．若PA∥平面BDE， 求直线AE与平面BDE所成角的正弦值． 7.在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M为棱BB1的中点，在棱DD1上是否存在点P，使MD⊥平面PAC?若存在求出它的位置，若不存在说明理由。 8.如图，矩形ABCD中，已知AB=2AD，E是AB的中点，沿DE将△ADE折起到△A1DE的位置，使A1C=A1B，则A1C与平面BEDC所成角的余弦值是 参考答案： 1.2或-2 2. 3． 4. ． 5., 提示：需要自行画图，建系稍有难度。 6.． 提示：关键是E点的位置的确定。二个途径①通过证明：连结AC交BD于F,EF∥AP,得出E是PC中点；②通过计算:PA的方向向量与平面BDE的法向量垂直. 7.不存在 提示；假设存在，设DP=a,根据已知条件求出a,当0≤a≤1时，存在。否则，不存在。 8. 提示：这是折叠问题。难点在于 发现平面A1DE与平面BEDC垂直。取BC,DE 中点F,G,可以证明FG,A1F都与BC垂直， 因此BC与平面A1GF垂直,所以BC垂直A1G， 可证A1G与DE垂直，所以，A1G与BCDE垂直。 建系也不易。 立体几何这种难度的题一定要学会哟！ 有必要把必修四的基础知识复习一下。至少要清楚地知道“线面平行的判定定理及性质定理；面面平行的判定定理及性质定理；线面垂直的判定定理及性质定理；面面垂直的判定定理及性质定理；线面垂直定义。” 附1： “记住基础知识”很重要 对目标为及格的学生来说，做到“记住基础知识”离及格就很近了。 以下面这个例子进行一下说明。 已知向量，，若向量同时满足下列三个条件： ；；与垂直．求向量的坐标； 正确解答本题所用高中基础知识: 设向量则 (1),(2),(3) 这三个公式必须都记住才有可能正确解答这个问题。注意是可能，因为后面还要求计算准确。如果你说记住才是有可能正确解答这个问题，我什么要记住公式呢！我告诉你，如果你不记住，那么你正确解答这个题的可能性都没有！ 解：设，则 能列出三个方程，说明前面三个公式记住了。方程③是公式(2)(3)相结合。 下面要解这个方程。 我们最会解的是一元一次方程和一元二次方程。这个是三元方程。显然是要把三元方程变为一元方程。先变为二元，再变一元。（这段就是分析、思考、思路） 观察这三个方程，发现由方程③可得z=x代入①②， 将④代入⑤解得，x=2或-2 ∴x=2,y=-1,z=2或x=-2,y=-1,z=-2 ∴或。 看到了，“记住基础知识”很重要！ 我一直希望同学们能把数学及格这件事牢牢地掌握在自己手里！ “记住基础知识”才有希望！ 附2： “用基础知识做题”的含义 细心的学生会发现文件有页眉“记住基础知识，用基础知识做题，不犯低级错误”，前面我们讲了“记住基础知识”很重要，今天结合例子讲一下“用基础知识做题”的含义 题目：已知空间的一个基底，，，若，共线，则     ，      ． 题目中条件“若，共线，”可以想到相关基础知识，“非零向量和向量共线的充要条件是存在实数λ，使得”(这是由题目中信息联想相关知识)。 所以，存在实数k,使得, ∴ ∴ 已知是空间的一个基底， ∴……(I) 关键的地方到了！列出(I)的三个方程的依据是什么。假如你的回答是老师（或教材或教辅或其它）就是这么讲的。那么你做题就不是用基础知识，而是模仿。 基础知识告诉我们，已知是空间的一个基底，所以向量是不共面向量，空间向量基本定理告诉我们，空间任何向量都可以用向量线性表达，而且表达结果唯一。向量和向量都用向量线性表达，等式，说明这两个向量是相等的，即同一个向量，于是表达结果是唯一的，所以列出(I) 你感受到了吗？这是“用基础知识做题”！ 我希望你在解答题目过程