第37期 等比数列-【数理报】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第二册同步学案（北师大版）

书书书 １８． （１２ 分 ） （２０２２ 黑 龙 江 省 齐 齐 哈 尔 市 高 二 阶 段 测 试 ） 已 知 数 列 ｛ａ ｎ ｝ 的 前 ｎ 项 和 为 Ｓ ｎ ，点 （ ａ 槡 ｎ ，Ｓ ｎ ） 在 曲 线 ｙ ＝ ２ｘ ２ － ２ 上 ． （１ ） 求 证 ：数 列 ｛ａ ｎ ｝ 是 等 比 数 列 ； （ ２ ） 设 数 列 ｛ｂ ｎ ｝ 满 足 ｂ ｎ ＝ ａ ｎ＋１ － ａ ｎ ，求 数 列 ｛ｂ ｎ ｝ 的 前 ｎ 项 和 Ｔ ｎ ． １９． （１２ 分 ） （２０２２ 山 西 省 实 验 中 学 高 三 第 二 次 月 考 ） 已 知 数 列 ｛ａ ｎ ｝ 的 前 ｎ 项 和 为 Ｓ ｎ ，且 Ｓ ｎ ＝ － ａ ｎ ＋ １ ， ａ １ ＝ １２ ． （１ ） 求 数 列 ｛ａ ｎ ｝ 的 通 项 公 式 ； （ ２ ） 设 ｂ ｎ ＝ ｎａｎ ， 求 数 列 ｛ｂ ｎ ｝ 的 前 ｎ 项 和 Ｔ ｎ ． ２０． （１２ 分 ） （２０２２ 湖 北 省 宜 昌 市 高 二 期 中 ） 设 ｛ａ ｎ ｝ 是 公 比 大 于 １ 的 等 比 数 列 ， Ｓ ｎ 为 数 列 ｛ａ ｎ ｝ 的 前 ｎ 项 和 ．已 知 Ｓ ３ ＝ ７ ，且 ａ １ ＋ ３ ，３ａ ２ ，ａ ３ ＋ ４ 构 成 等 差 数 列 ，求 数 列 ｛ａ ｎ ｝ 的 通 项 公 式 ． ２１． （１２ 分 ） （２０２２ 河 北 省 衡 水 市 高 二 月 考 ） 已 知 数 列 ｛ａ ｎ ｝ 满 足 ａ １ ＝ － ２ ， ａ ｎ＋１ ＝ ２ａ ｎ ＋ ４． （１ ） 求 证 ：数 列 ｛ ａ ｎ ＋ ４ ｝ 是 等 比 数 列 ； （２ ） 求 数 列 ｛｜ ａ ｎ ｜｝ 的 前 ｎ 项 和 Ｓ ｎ ． ２２． （１２ 分 ） （２０２２ 河 南 省 洛 阳 市 月 考 ） 已 知 等 比 数 列 ｛ａ ｎ ｝ 满 足 ａ ２ ＝ ２ －２，ａ ３ · ａ ５ · ａ ７ ＝ ２ －１５，数 列 ｛ｂ ｎ ｝ 满 足 ｂ １ ＝ １ ，ｂ ｎ ＋ ｂ ｎ＋１ ＝ ａ ｎ （ｎ ∈ Ｎ ＋ ） ，ｃ ｎ ＝ ｂ ｎ ２ａ ｎ ，Ｓ ｎ 为 数 列 ｛ｃ ｎ ｝ 的 前 ｎ 项 和 ． （１ ） 求 数 列 ｛ｂ ｎ ｝ 的 前 １１ 项 和 ； （２ ） 求 ３Ｓ ｎ － ２ ｎ· ｂ ｎ ． ! " # $ % & ' ( ) *+,-./0123456789:;<=>!"#$%& *+,-./0123456789:;<=>'"($%& 书 一、概念不明致错 例１若ｋ，２ｋ＋２，３ｋ＋３是一个等比数列的前三项， 则ｋ＝ ． 错解：依题意得（２ｋ＋２）２ ＝ｋ（３ｋ＋３）， 整理得ｋ２＋５ｋ＋４＝０．解得ｋ＝－４或ｋ＝－１． 剖析：错因在于没有正确地应用等比数列的概念， 即由ｋ，２ｋ＋２，３ｋ＋３成等比数列应得２ｋ＋２ｋ ＝ ３ｋ＋３ ２ｋ＋２，而 非（２ｋ＋２）２＝ｋ（３ｋ＋３），所以ｋ＝－１不适合题意，应舍去． 正解：依题意知２ｋ＋２是ｋ和３ｋ＋３的等比中项， 所以 ２ｋ＋２ ｋ ＝ ３ｋ＋３ ２ｋ＋２，整理得ｋ ２＋５ｋ＋４＝０， 解得ｋ＝－４或ｋ＝－１（舍去）．所以ｋ＝－４． 二、项数不清致错 例２１＋２＋４＋… ＋２ｎ ＝ ． 错解：这是一个首项为１，公比为２的等比数列的前 ｎ项和，所以１＋２＋４＋… ＋２ｎ ＝１×（１－２ ｎ） １－２ ＝２ ｎ－１． 剖析：错因在于没有弄清项数，首项为１＝２０，末项 为２ｎ，项数应为（ｎ－０）＋１＝ｎ＋１． 正解：这是一个首项为１，公比为２的等比数列的前 ｎ＋１项和，所以１＋２＋４＋… ＋２ｎ ＝１×（１－２ ｎ＋１） １－２ ＝ ２ｎ＋１－１． 三、忽视隐含致错 例３已知在等比数列｛ａｎ｝中，ａ１＋ａ２＋ａ３＝７，ａ１· ａ２·ａ３ ＝８，求ａｎ． 错解：因为ａ１·ａ３ ＝ａ ２ ２，所以ａ１·ａ２·ａ３ ＝ａ ３ ２ ＝８， 所以ａ２ ＝２， 所以 ａ１＋ａ３ ＝５， ａ１·ａ３ ＝４ { ， 解得 ａ１ ＝１， ａ３ ＝４ { ， 或 ａ１ ＝４， ａ３ ＝１ { ． 因为ａ３ ＝ａ１ｑ ２，所以ｑ＝±２或ｑ＝±１２． 所以ａｎ ＝２ ｎ－１或ａｎ ＝（－２） ｎ－１或ａｎ ＝２ ３－ｎ或ａｎ ＝（－２）３－ｎ． 剖析：错因在于忽视了隐含条件ｑ＞０．由上面求出 的ａ１，ａ２，ａ３的值，不难发现ｑ＞０． 正解：因为ａ１·ａ３ ＝ａ ２ ２，所以ａ１·ａ２·ａ３ ＝ａ ３ ２ ＝８， 所以ａ２ ＝２， 所以 ａ１＋ａ３ ＝５， ａ１·ａ３ ＝４ { ， 解得 ａ１ ＝１， ａ３ ＝４ { ， 或 ａ１ ＝４， ａ３ ＝１ { ． 因为ａ３ ＝ａ１ｑ ２，所以ｑ＝±２或ｑ＝±１２， 易知