第38期 19.2平行四边形-【数理报】2022-2023学年八年级下册初二数学同步学案（沪科版）

书 １６．图略． ① 若新多边形为 四边形，则其内角和为： （４－２）×１８０°＝３６０°； ② 若新多边形为 五边形，则其内角和为： （５－２）×１８０°＝５４０°； ③ 若新多边形为 六边形，则其内角和为： （６－２）×１８０°＝７２０°． １７．（１）因为 ∠Ａ ＝１５０°，∠Ｄ＝８０°， 所 以 ∠ＡＢＣ ＋ ∠ＢＣＤ ＝（４－２）× １８０°－∠Ａ－∠Ｄ ＝ １３０°． 因 为 ＣＥ 平 分 ∠ＢＣＤ，ＢＦ 平 分 ∠ＡＢＧ， 所 以 ∠ＢＣＥ ＝ １ ２∠ＢＣＤ，∠ＡＢＦ ＝ １ ２∠ＡＢＧ＝ １ ２（１８０°－ ∠ＡＢＣ） ＝ ９０° － １ ２∠ＡＢＣ． 所以∠Ｅ＋∠Ｆ＝ ３６０°－∠ＢＣＥ－∠ＣＢＦ ＝ ３６０° － ∠ＢＣＥ － （∠ＡＢＣ＋∠ＡＢＦ） ＝ ３６０° － １２∠ＢＣＤ － （∠ＡＢＣ ＋ ９０° － １ ２∠ＡＢＣ） ＝ ２７０°－ １ ２（∠ＡＢＣ ＋ ∠ＢＣＤ） ＝２０５°． （２）２（∠Ｅ＋∠Ｆ） ＝∠Ａ＋∠Ｄ＋１８０°． 书 折叠问题是轴对称性 质的应用，同时考查空间想 象能力，此类问题可以涵盖 三角形的全等、等腰三角形、 平行线等众多知识．下面我 们就一起学习折叠型问题 在平行四边形中的应用． 一、求角的度数 例 １　 如 图 １， 将 ＡＢＣＤ沿对角线ＢＤ折叠， 使点Ａ落在点 Ｅ处．若 ∠１ ＝５６°，∠２＝４２°，则∠Ａ的 度数为 （　　） Ａ．１０８°　　　Ｂ．１０９° Ｃ．１１０° Ｄ．１１１° 分析：根据平行四边形的性质得出ＡＢ∥ＣＤ，从而 得到∠ＡＢＥ＝∠１，根据折叠的性质得出 ∠ＡＢＤ的度 数，最后由三角形内角和定理得出∠Ａ的度数即可． 解：因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，所以 ＡＢ∥ ＣＤ．所以∠ＡＢＥ＝∠１＝５６°．由折叠的性质，得∠ＡＢＤ ＝１２∠ＡＢＥ＝２８°．因为∠２＝４２°，所以∠Ａ＝１８０°－ ∠２－∠ＡＢＤ＝１１０°．故选Ｃ． 二、求线段的长度 例２　 如图２，将 ＡＢＣＤ 进行折叠，折叠后ＡＤ恰好经过 点Ｃ得到ＡＤ′．若∠ＢＡＣ＝９０°， ＤＥ＝５，ＣＥ＝４，则线段 ＡＣ的 长度为 ． 分析：由平行四边形的性质可得 ＡＤ＝ＢＣ，ＡＢ＝ ＣＤ，ＡＢ∥ＣＤ，进而求得∠ＥＣＤ′的度数，由折叠的性质 得到Ｄ′Ｅ＝ＤＥ，ＡＤ＝ＡＤ′，由勾股定理可求ＣＤ′的长， 运用方程思想即可得解． 解：因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，所以 ＡＤ＝ ＢＣ，ＡＢ＝ＣＤ＝ＤＥ＋ＣＥ＝９，ＡＢ∥ＣＤ．所以∠ＡＣＤ＝ ∠ＢＡＣ＝９０°．所以∠ＥＣＤ′＝１８０°－∠ＡＣＤ＝９０°．根 据折叠的性质，得Ｄ′Ｅ＝ＤＥ＝５，ＡＤ′＝ＡＤ．所以ＣＤ′ ＝ Ｄ′Ｅ２－ＣＥ槡 ２ ＝３．所以ＢＣ＝ＡＤ′＝ＡＣ＋ＣＤ′＝ＡＣ ＋３．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，由勾股定理，得ＢＣ２ ＝ＡＢ２＋ＡＣ２， 即（ＡＣ＋３）２ ＝９２＋ＡＣ２．解得ＡＣ＝１２．故填１２． 三、证明三角形全等 例３　如图３，将ＡＢＣＤ沿 对角线ＢＤ翻折，点Ａ落在点Ｅ处， ＢＥ交ＣＤ于点Ｆ．求证：△ＢＣＦ≌ △ＤＥＦ． 分析：由折叠的性质，得 ∠Ｅ ＝∠Ａ，ＤＥ＝ＤＡ，根据平行四边形 的性质，得∠Ｃ＝∠Ａ，ＢＣ＝ＤＡ，根据“ＡＡＳ”即可得解． 证明：由折叠的性质，得∠Ｅ＝∠Ａ，ＤＥ＝ＤＡ．因 为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以∠Ｃ＝∠Ａ，ＢＣ＝ ＤＡ．所以 ∠Ｃ＝∠Ｅ，ＢＣ＝ＤＥ．由对顶角相等，得 ∠ＢＦＣ＝∠ＤＦＥ．在△ＢＣＦ和△ＤＥＦ中，因为∠ＢＦＣ ＝∠ＤＦＥ，∠Ｃ ＝∠Ｅ，ＢＣ ＝ＤＥ，所以 △ＢＣＦ≌ △ＤＥＦ（ＡＡＳ）． 书 三角形中位线定理在一个题设下，有两个结论：一 个是线段之间的位置关系，另一个是线段之间的数量关 系．这个定理在证明、计算、作图中都有广泛的应用，是 三角形的重要性质之一．当三角形中有中点时，往往借 助三角形中位线定理来解决相关问题． 一、求角度 例１　如图１，在Ｒｔ△ＡＢＣ中， ∠Ａ＝３０°，点 Ｄ，Ｅ分别是直角边 ＡＣ，ＢＣ的中点，连接ＤＥ，则∠ＣＥＤ 的度数是 （　　） Ａ．７０°　　　　　　　Ｂ．６０° Ｃ．３０° Ｄ．２０° 分析：根据直角三角形的性质求出 ∠Ｂ的度数，根 据三角形中位线定理得到ＤＥ∥ＡＢ，根据平行线的性质 解答即可． 解：在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ａ＝３０°，所以 ∠Ｂ＝９０°－ ∠Ａ＝６０°．因为Ｄ，Ｅ分别是ＡＣ，ＢＣ的中点，所以ＤＥ∥ ＡＢ．所以∠ＣＥＤ＝∠Ｂ＝６０°．故选Ｂ． 二、求周长 例２　如图２，在△ＡＢＣ中，Ｄ， Ｅ，Ｆ分别是ＢＣ，ＡＣ，ＡＢ的中点．若 ＡＢ＝６，ＢＣ＝８，则四边形ＢＤＥＦ的 周长是 （　　） Ａ．２８ Ｂ．１４ Ｃ．１０ Ｄ．７ 分析：根据三角形中位线定理解答即可． 解：因为Ｄ，Ｅ，Ｆ分别是ＢＣ，ＡＣ，ＡＢ的中点，所以ＤＥ ＝ＢＦ＝１２ＡＢ＝