第6章 3 第一课时 空间图形基本位置关系的认识及基本事实1,2,3（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

§3　空间点、直线、平面之间的位置关系 第一课时　空间图形基本位置关系的认识及基本事实1,2,3 (一)点、线、面的位置关系 点、线、面之间的关系及符号表示(其中A是点，l，m是直线，α，β是平面) 1．“直线a经过平面α外一点P”用符号表示为 (　　) A．P∈a，a∥α　　　　　 B．a∩α＝P C．P∈a，P∉α D．P∈a，a⊂α 解析：由于点P在平面α外，所以有P∉α，又直线a经过点P，所以P∈a. 答案：C　 2．把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在横线上． (1)A∉α，a⊂α________； (2)α∩β＝a，P∉α，且P∉β________； (3)a∩α＝A________； (4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O________. 答案：(1)C　(2)D　(3)A　(4)B (二)基本事实1～3 1．平面的基本事实 (1)“不在一条直线上”“三个点”是基本事实1的重点字眼，如果没有前者，那么只能说“有一个平面”，但可能不唯一；如果将“三个点”改成“四个点”，那么过四个点不一定存在一个平面．由此可见，“不在一条直线上的三个点”是确定一个平面的恰到好处的条件．这里的“有且只有”包括存在性和唯一性两个方面，“有”表示“平面存在”，“只有”表示平面唯一． (2)从集合的角度看基本事实2，即如果一条直线(集合)上有两个点(元素)属于一个平面(集合)，那么这条直线就是这个平面的真子集．这个结论阐述了两个观点：一是整条直线在平面内，二是直线上的所有点在平面内． (3)基本事实3表达了不重合的平面与平面有两种位置关系：两个平面相交于一条直线和两个平面平行．事实上，对于不重合的两个平面，如果两个平面有一个公共点，那么它们必定还有另外一个公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就找出了它们的交线． —————————————————————————————————— 2．平面的基本事实1,2的三个推论 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)经过空间任意三点能确定一个平面． (　　) (2)四条线段首尾相连一定构成一个平面四边形． (　　) (3)基本事实2是确定直线在平面内的依据． (　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2．三点可确定平面的个数是 (　　) A．0　　 B．1　　　C．2　　　D．1或无数个 答案：D 3．若平面α与平面β相交，点A，B既在平面α内又在平面β内，则点A，B必在________． 答案：α与β的交线上 [典例]　用符号表示下列语句，并画出图形． (1)点A在平面α内但在平面β外； (2)直线a经过平面α内一点A，α外一点B； (3)直线a在平面α内，也在平面β内． [解]　(1)A∈α，A∉β.(如图①) (2)a∩α＝A，B∉α，B∈a.(如图②) (3)α∩β＝a.(如图③) 三种语言转换的注意点 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示． (2)要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”． (3)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．　　 [对点训练] 1.如图所示，用符号语言可表示为 (　　) A．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A C．α∩β＝m，n⊂α，A∉m，A∉n D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n 解析：很明显，α∩β＝m，n在α内，m与n交于点A，故选A. 答案：A　 2．用符号表示下列语句，并画出图形． (1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B. (2)点A，B在平面α内，直线a与平面 α交于点C，点C不在直线AB上． 解：(1)用符号表示α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图①. (2)用符号表示A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉AB，如图②. [典例]　如图所示，已知l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内． [证明]　法一：纳入平面法 ∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴B∈l2. 又∵l2⊂α，∴B∈α. 同理可证C∈α. 又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α. ∴直线l1，l2，l3在同一平面内． 法二：辅助平面法 ∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β. ∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α. ∵A∈l2，l2⊂β.∴A∈β. 同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内． ∴平面α和β重合，即