专题06 正、余弦定理解三角形-【备考先锋必刷题】2022-2023学年高一数学下学期期中期末复习（人教A版2019必修第二册）

体系搭建 一、知识框架 2、 知识概念 （一）正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即==. 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题. （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角） 变形：① ②角化边 ③边化角 （二） 余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即 a2=b2+c2－2bccosA； ① b2=c2+a2－2cacosB； ② c2=a2+b2－2abcosC. ③ 在余弦定理中，令C=90°，这时cosC=0，所以c2=a2+b2. 由此可知余弦定理是勾股定理的推广.由①②③可得 cosA=； cosB=； cosC=. 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. （3）在ABC中， 若，则角是直角； 若，则角是钝角； 若，则角是锐角． （三） 三角形中的公式变换 三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。 （1）角的变换 因为在ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。； （2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。 面积公式： 其中r为三角形内切圆半径，p为周长之半。 （四）解斜三角形的常规思维方法 （1）已知两角和一边（如），由求，由正弦定理求； （2）已知两边和夹角（如），应用余弦定理求边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用，求另一角； （3）已知两边和其中一边的对角（如），应用正弦定理求B，由求，再由正弦定理或余弦定理求边，要注意解可能有多种情况； A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系 式 a＜bsin A a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b a≤b 解的 个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解 也可设出第三边,利用余弦定理,建立方程,解方程即可. (五) 射影定理 在任意三角形 中, 设 的对边分别为 a, b, c，则有 （六）张角定理 在 中, 是 BC 上的一点,连结 AD. 那么 例题分析 考向1 利用正弦、余弦定理解三角形 【例1】在中，，，，则　　 变式训练 【变1-1】在中，，，，则　　 A． B． C． D． 【变1-2】的内角，，的对边分别为，，．已知，，则　　 A．6 B．5 C．4 D．3 【变1-3】记的内角，，的对边分别为，，，面积为，，，则　　． 【变1-4】．在①，②，③，这三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并判断三角形是否有解，若有解，求出的值；若无解，请说明理由． 在中，已知道，，分别是角，，的对边，且满足，． 考向2 判断三角形的形状 【例2】在中，、、分别为角、、的对边），则的形状为　　 A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 变式训练 【变2-1】．（多选）下列命题中，正确的是　　 A．在中，，则 B．在锐角中，不等式恒成立 C．在中，若，则必是等腰直角三角形 D．在中，若，，则必是等边三角形 【变2-2】．已知向量，，， （1）求函数的最小正周期及取得最大值时对应的的值； （2）在锐角三角形中，角、、的对边为、、，若，求三角形面积的最大值并说明此时该三角形的形状． 【变2-3】在中，角，，所对的边长为，，，，． （Ⅰ）若，求的面积； （Ⅱ）是否存在正整数，使得为钝角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 考向3 三角形面积有关计算问题 【例3】的内角、、的对边分别为、、，已知，，则的面积为________. 变式训练 【变3-1】．（多选）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边，，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幕减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列命题正确的是　　 A．周长为 B．三个内角，，满足关系 C．外接圆半径为 D．中线的长为 【变3-2】在中，、、的对边分别为、、，且， 则的面积为　　． 【变3