第九章 第二节 用样本估计总体-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时教师用书word（新教材，人教A版）

第二节　用样本估计总体 ★[考试要求] 1．会用统计图表对总体进行估计，会求n个数据的第p百分位数.2.能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度． 1．百分位数 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值． 2．平均数、中位数和众数 (1)平均数：＝(x1＋x2＋…＋xn)． (2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最　中间　的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的　平均数　(当数据个数是偶数时)． (3)众数：一组数据中出现次数　最多　的数据(即频数最大值所对应的样本数据)． 3．方差和标准差 (1)方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]． (2)标准差：s＝ 　　. 巧用四个有关的结论 (1)若x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为m＋a； (2)数据x1，x2，…，xn与数据x′1＝x1＋a，x′2＝x2＋a，…，x′n＝xn＋a 的方差相等，即数据经过平移后方差不变； (3)若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2. 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近．(　　) (2)一组数据的第p百分位数可以不唯一．(　　) (3)方差与标准差具有相同的单位．(　　) (4)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分分别为87,89,90,91,92,93,94,96，则这组数据的平均数是(　　 ) A．91　　 B．91.5　　　C．92　　　D．92.5 解析：B　[平均数＝＝91.5.] 3．(多选)给出一组数据：1,3,3,5,5,5，下列说法正确的是(　　 ) A．这组数据的极差为4 B．这组数据的平均数为3 C．这组数据的中位数为4 D．这组数据的众数为3和5 解析：AC　[这组数据的极差为5－1＝4，A正确；平均数为＝，B错误；中位数为＝4，C正确；众数为5，D错误．] 4．一个容量为20的样本，其数据按从小到大的顺序排列为：1,2,2,3,5,6,6,7,8,8,9,10,13,13,14,15,17,17,18,18，则该组数据的第75百分位数为　________　，第86百分位数为　________　. 解析：因为75%×20＝15，所以第75百分位数为＝14.5.因为86%×20＝17.2，所以第86百分位数为第18个数据17. 答案：14.5　17 　　　样本的数字特征和百分位数的估计 [例1]　(1)(2022·全国甲卷)某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图： 则(　　) A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70% B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85% C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差 [解析]　B　[由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解． 讲座前中位数为＞70%，所以A错； 讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%,4个85%，剩下全部大于等于90%，所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%，所以B对； 讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，所以C错； 讲座后问卷答题的正确率的极差为100%－80%＝20%，讲座前问卷答题的正确率的极差为95%－60%＝35%＞20%，所以D错．故选B.] (2)(多选)一组数据2x1＋1,2x2＋1,2x3＋1，…，2xn＋1的平均值为7，方差为4，记3x1＋2,3x2＋2,3x3＋2，…，3xn＋2的平均值为a，方差为b，则(　　 ) A．a＝7　　　　　　 B．a＝11 C．b＝12 D．b＝9 [解析]　BD　[设x1，x2，……xn的平均值为，方差为s2，则2x1＋1,2x2＋1，……2xn＋1的平均数为2＋1＝7,4s2＝4，故＝3，s2＝1，则3x1＋2,3x2＋2，……3xn＋2的平均值a＝3＋2＝11，方差b＝9s2＝9.] 众数、中位数、平均数、方差的意义及常用结论 (1)平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中