专题16 最大公因数（培优提升讲义）—2022-2023学年五年级数学思维拓展精编讲义（原卷+解析）通用版

2022-2023学年小学五年级思维拓展举一反三精编讲义 专题16 最大公约数 知识精讲 专题简析： 几个数公有的约数叫做这几个数的公约数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。我们可以把自然数a、b的最公约数记作（a、b），如果（a、b）=1，则a和b互质。 求几个数的最大公约数可以用分解质因数和短除法等方法。 典例分析 【典例分析01】 一张长方形的纸，长7分米5厘米，宽6分米。现在要把它裁成一块块正方形，而且正方形边长为整厘米数，有几种裁法？如果要使裁得的正方形面积最大，可以裁多少块？ 【思路引导】7分米5厘米=75厘米，6分米=60厘米。因为裁成的正方形的边长必须能同时整除75和60，所以边长是75和60的公约数。75和60的公约数有1、3、5、15，所以有4种裁法。 如果要使正方形面积最大，那么边长也应该最大，应该取75和60的最大公约数15作为正方形的边长，所以可以裁（75÷15）×（60÷15）=20块。 【典例分析02】一个长方体木块，长2.7米，宽1.8分米，高1.5分米。要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，正方体的棱长最大是多少分米？ 【思路引导】2.7米=270厘米，1.8分米=18厘米，1.5分米=15厘米。要把长方体切成大小相等的正方体，不许有剩余，正方体的棱长应该是长、宽、高的公约数。现要求正方体的棱长最大，所以棱长就是长、宽、高的最大公约数。 （270，18，15）=3，3厘米=0.3分米 【典例分析03】有三根钢管，它们的长度分别是240厘米、200厘米和480厘米，如果把它们截成同样长的小段，每小段最长可以是多少厘米？ 【思路引导】要把三根钢管截成同样长的小段，每小段的长度数应该是240、200和480的公约数，而每小段要取最长，也就是求240、200和480的最大公约数。240、200和480的最大公约数是40，所以每小段最长是40厘米。 【典例分析04】 一条道路由甲村经过乙村到丙村。已知甲、乙村相距360米，乙、丙村相距675米。现在准备在路边裁树，要求相邻两棵树之间距离相等，并在甲、乙两村和乙、丙两村的中点都要种上树，求相邻两棵树之间的距离最多是多少米？ 【思路引导】由于甲乙、乙丙的两村中点各要种上一棵树，所要要将360÷2=180米、675÷2=337.5米平均分成若干段，并且使每段的长度最长。因为（675、360）=45，而180=360÷2，337.5=675÷2，所以，45÷2=22.5，即相邻两棵树之间距离最多是22.5米。 【典例分析05】用一张长1072毫米、宽469毫米的长方形纸，剪成面积相等的正方形，并且最后没有剩余，这些正方形的边长最长是多少？ 【思路引导】前面的例题已经告诉了我们，解决这道题只要求出长方形长和宽的最大公约数就行了。但是这题中，长和宽的数比较大，最大公约数比较难求出，这里再介绍一种求两个数的最大公约数的方法。 第一步：1072÷469，余134； 第二步：469÷134，余67； 第三步：134÷67，没有余数，所以用67毫米为正方形的边长来剪，正好能剪（1072÷67）×（469÷67）=112个正方形，即这些正方形的边长最大是67毫米。 这种求两个较大数的最大公约数的方法叫辗转相除法。 真题演练 一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分） 1．（2分）（2022春•沭阳县月考）如果A＝2×3×7，B＝2×5×3，那么A和B的最大公因数是（　　） A．2 B．6 C．35 2．（2分）（2022春•韩城市期末）下面第（　　）组中的两数的最大公因数是6。 A．6和18 B．2和3 C．24和12 D．30和5 3．（2分）（2022春•坊子区期末）如果4a＝b，那么a和b的最大公因数是（　　） A．a B．b C．4 4．（2分）（2022春•贵阳期中）两个相邻自然数的最小公倍数是72，这两个自然数的和是（　　） A．72 B．15 C．17 5．（2分）（2021春•长垣市期末）m是一个质数，n是一个合数（m、n都是大于20的自然数），下列说法正确的是（　　） A．m+n一定是偶数 B．mn一定是奇数 C．m+2n不可能是偶数 D．2（m+n）可能是奇数 二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分） 6．（2分）（2022春•罗源县期末）如果A÷B＝5（A，B为自然数），那么A和B最大公因数是 　 　。 7．（2分）（2022春•德江县期中）已知a＝2×3×5，b＝2×5×7，它们的公因数有 　 　，最大公因数是 　 　。 8．（2分）（2022春•福鼎市期中）在24、8和9中，　 　是 　 　的因数，　 　是 　 　的倍数，　 　和 　 　的最大公因数是1。 9．（2分）（2022春•沈丘