6.1 向量的有关概念及线性运算-中职生数学升学考试复习指导（适用于高一高二高三）

第六章 平面向量 考纲阐释解读 内容 要求 理解向量及有关的概念，掌握向量加法、减法和数乘向量运算， 向量及有关的概念，向量的线性运算.向量直 以及有关运算律 角坐标的概念，向量坐标与点坐标之间的关 掌握向量夹角的定义、内积的定义和性质 系，向量的直角坐标运算，中点公式，距离公 掌握向量的直角坐标及向量的直角坐标运算 式.向量夹角的定义，向量的内积，两向量垂 掌握两向量垂直，平行的条件 直、平行的条件 掌握线段中点坐标计算公式、两点间的距离公式 能利用向量的知识解决相关问题 知识思维导图 定义 表示方法 模☐ 两点问的距离公式 零向量 中点公式 直角坐标 向量的概念 表示及运算 及表示方法 单位向量 基本运算 特殊向量 相等向量 平面向量 相反向量 共线向量 三角形法则 定义 加法 平行四边形法则 运算律 向量的内积 鏡性运算 减法 直角坐标运算 数乘向量 70 第六章平面向量 6.1向量的有关概念及线性运算 核心知识讲解 1.向量 因为向量是有大小和方向的量，所以 既有大小又有方向的量称为向量.满足 不能比较大小：但只要满足方向相 概念 向量相等 两个条件：①有大小：②有方向 同，模相等，那我们就说这两个向量 表示方法 向量可用有向线段表示 相等.向量a与b相等，记作a=b 方向相同或相反的向量称为平行向 如果向量AB=a,那么有向线段AB的长 平行向量 向量的模 量.向量a,b平行.记作a∥b.规定0 度，表示向量a的大小，也称为向量a的 (共线向量) (长度) 与任一向量平行 长度（或模），记作la 规定与a长度相等，方向相反的向量 相反 2.有向线段 称为a的相反向量，记作一a,显然 向量 -(-a)=a 线段的端点A为始点，端点B为终点， 这时线段AB具有从A到B的方向.像 待别提醒 零向量的相反向量仍是零向量.（注意0 这样，具有方向的线段就称为有向线 和0的区别) 段.在有向线段终点处画上箭头表示它 定义 4.向量的加法 的方向，以A为始点、B为终点的有向 线段，记作AB.表示有向线段时，始点 求两个向量和的运算，称为向量的 定义 一定要写在终点的前面，有向线段A店 加法 与BA是不同的 已知向量a,b,在平面内任取一点A, 作AB=a,BC=b,作向量AC,则向量 对于有向线段AB,线段AB的长度称为 长度 三角形法则 AC称为向量a与b的和.这种求两个 有向线段AB的长度（或模），AB的长度 (或模) 向量和的作图法则称为向量加法的 记作A 三角形法则.“首尾相连，连首尾” 三要素 起点、方向、长度 如果向量a,b不共线，我们可以在平 特别提醒 面内任取一点A,作AB=a,AD=b, 终，点不是有向线段的要素，因为知道了 以A范.AD为邻边作平行四边形 平行四边形 有向线段的始，点，它的终点就被它的方向和 法则 ABCD,则对角线上的向量AC=a+ 长度所唯一确定 b.我们把这种求两个向量和的作图 3.向量的有关概念 法则称为向量加法的平行四边形法 则.“共起点，连对角” 零向量 长度为0，方向是任意的 交换律：a十b=b十a 单位向量 长度为1的向量 运算规律 结合律：(a十b)十c=a+(b十c) 中职生升学考试复习指导·数学 5.向量的减法 把向量沿着它的方向或反方向放大 定义 求两个向量差的运算 几何意义 或缩小 已知a,b,作OA=a.Oi=b.则a- A(ya)=()a(结合律) 法则 b=OA一O谚-BA.向量减法的三角 形法则“同起点，连终点，指向前” 设a, (A+u)a=ia+ia (第一分配律) a一b=a十（一b),即减去一个向量相 运算律 A为 向量减法与 当于加上这个向量的相反向量.任 实数 1(a+b)=a十b 加法的关系 向量与其相反向量的和是0，即a十 (第二分配律) (一a)=(-a)十a=0 |a-bll≤a+bl≤a+|b 特别提醒 三角不等式 |1a-|blI≤|a-b≤a+|b a中的实数入称为向量a的系数，数乘 向量的结果是一个向量. 6.数乘向量 7.平行向量基本定理 定义 实数入和向量a的乘积是一个向量， (1)平行向量基本定理 称为数乘向量，记作a 如果向量b≠0，则a∥b的充要条件是，存 长度 lxal=lal la 在唯一实数入，使得a=b. 当入>0时，a与a的方向相同 (2)非零向量a的单位向量 与a方向相同的单位向量.a的单位向量 当入<0时，a与a的方向相反 是 方向 特别地： (3)线段中点的向量表达式 (1)当=0或a=0时，a=0. 点M是线段AB的中点，点O是平面内任 (2)当A=-1时，(-1)a=-a,就是 意一点，则0i=2O+O. a的相反向量 考题方法突破 题型一对向量基本概念的理解 【解析】零向量的方向是任意的，故选项A错