5.3 等比数列-中职生数学升学考试复习指导（适用于高一高二高三）

中职生升学考试复习指导·数学 5.3等比数列 核心知识讲解 1.等差数列与等比数列的对照表 数列 等差数列 等比数列 (4)等比数列的前n项和公式： 数列{an}中，若 当g≠1时，S=a11二92_a-a9, 1-q 1-q 数列{an}中，若a+1一 “r山=g(q为常 当q=1时，S=a1. 定义 a.=d(d为常数)，则 有时易忽略q=1的情形. {aw}是等差数列 数，且q≠0)，则 (a.是等比数列 2.等比数列的性质 如果a,A,b成等差 如果a,G,b成等 (1)若m,n,s,t∈N+,m十n=s十t,则am· 数列，那么称A为a 比数列，那么称G am=a,·a. 中项 与b的等差中项，并 为a与b的等比中 (2)若m十n=2p,则有am·an=a.数列 且A=4十b 项，并且G= {an}是等比数列=a=am-1·an+1. 土ab(ab>0) (3)an=am·qm或gm=a】 通项 a。=a1+(n-1)d 公式 a.=aig"-1 (4)an,a+,a+2必，…也是等比数列（即等比 S。=n(a十a2 S.=a(1-) 数列中，每隔k一1项取出一项，按照原来的顺 1-9 前n项 序组成的新的数列依然是等比数列)，公比 和公式 2n(n-1)d a-a9(g≠1) 1-g 为 Sn=a1(g=1) (5)若等比数列{am}的公比为q,则S, S4一S6,S4一S4,…也是等比数列，公比为g. 特别提醒 (6)数列{am}是等比数列，则数列{ka.}, (1)等比数列的项、公比均不能为0. {a}(k为非零常数)均为等比数列. ①当9>0时，数列的各项与首项同号： 3.等比数列的通项公式与前n项和公式 ②当q0时，数列的各项符号正负相间； 等比数列的通项公式与前项和公式是解 ③当g=1时，数列是常数列：a,a,a,a, 决等比数列问题的基础，运用通项公式与前 …(a≠0).但常数列不一定是等比数列，只有 项和公式解决的问题类型有以下几个方面， 非零的常数列，才是等比数列. (1)五个基本量(q,a1,am,n,Su)(知三求 (2)不是任意两个数都有等比中项，只有 二)的运算 当ab>0时，a,b才有等比中项 (2)三个数成等比数列时，这三个数的设法 (3)当ab>0时，a,b的等比中项为G= 技巧（成等比数列的三个数常设为总，a,ag 士√ab,不要忘了“士”号. 66 第五章数列 考题方法突破 题型一○等比数列的通项公式和前n项和公 A.-18 B.-23 式的应用 C.-24 D.-32 【答案B 【例1】已知在等比数列{a}中，a2= 46-32 【解析】因为a是4与49的等比中项，且a<0, (1)求数列{an}的通项公式： 所以(a3)2=4×49. (2)若数列{bn}满足bn=am十，求{bn}的前n项 因为ag<0,所以aa=一14. 和Sa 又因为在等差数列{an}中，a1十a:=2a, 【解D由a=}a=2得-0-8 所以as=2a3一a1=-23. a281 令方法技巧 所以=2a= G为a和b的等比中项G=ab=a,G, 所以a=×（位-女 b成等比数列. 题型三等比数列的性质 (25- - +(1+2+…+n) 【例3】由正数构成的等比数列{an}中，a4as= 8,则log2a1+log2a2十log2as十…十log2ag的值 =1-1+n(1+) 等于 () 2 2 A.8 B.12 1+ 2 C.24 D.16 。方法技巧 【答案B (1)a和q是等比数列的两个基本量，解 【解析】1og2a1十log2a2十log2aa十…十log2as= 决本题时，只要求出这两个基本量，其余的量 log2(a1aga3as）. 便可以得出. 因为a1ag=a2a7=a3a6=aa5, 所以a1a2ag…a8=(auas)1=8, (2)等比数列的通项公式涉及a1,a,n,q 所以log2a1十log2a2十log2a3+…+log2as 四个量，只要知道其中任意三个就能求出另 1og8=1og2(23)=log222=121og22=12. 外一个，解题时常列方程（组）来解决。 零方法技巧 (3)前n项和公式涉及五个基本量(q: (1)看项的关系： a1,am,n,S,)(知三求二)的运算.只要知道其 ①若m,n,s,t∈N+,m十n=s十t,则 中任意三个就能求出另外两个，解题时常列 aw·an=ax·a. 方程（组）来解决 ②若m十n=2p,则有am·am=a2.数列 {an}是等比数列台a后=am-·an+1 题型二等比中项 (2)三个数成等比数列时，这三个数常设 【例2】在等差数列{a.)中，a1=一5，aa是4和 为Q a.aq. 49的等比中项，且a<0,则a等于（ 6