5.2 等差数列-中职生数学升学考试复习指导（适用于高一高二高三）

第五章数列 5.2等差数列 核心知识讲解 1.等差数列 特别提假 般地，如果一个数列从第2项起，每一项 (1)若d=0,则该数列为常数数列，即 与它的前一项的差都等于同一常数，则称这 an-aw-1=0. 个数列为等差数列，这个常数称为数列的公 定义 (2)若已知3个数成等差数列，且已知3 差，常用d来表示.即a。一ar1=d(n≥2， n∈N人.例：ag-d1=a一4：=…=aw 个数之和，可采用对称设法，即设此3个数分 a=d 别为a一d,a,a十d,以便简化计算. 通项an=a1十(n-1)d(n2,n∈N,) 公式 an为关于n的一次函数 2.等差数列前n项和公式 等差 如果a,A,b成等差数列，那么称A为a与b (1)当公差d=0时，前n项和Sm=a. 中项 的等差中项，即A=4十地 (2)当公差d≠0时，前n项和Sm= a,=an十(n-m)d片d=a二a(m≠，m u(aa)-naun Dd. 2 2 n一m n∈N.. 特别提醒 已知等差数列的任意两项可求公差d (1)若已知a1,d,n,am,Sn此5个量中的 在等差数列中，若m十n=p十q,则am十a, 任意3个，则可求出其余两个量（知三求二） ap十am(m,n,p,g∈N+) (2)前n项和公式为关于n的二次函数， ①由am十am=a。十a,一般无法推出m十n 且无常数项，即Sn=An十Bn: p+q: 常用②一般地，am十an≠amtw: 3.等差数列前n项和的最值 性质 ③特别地，若m十n-2p,则am十a,=2ap 当am>0,d<0时，前n项和有最大值.可 S.,S2n-S.,Sm-S2n,Sn-Sm,…也成等差 由am≥0且am+1≤0，求得n的值 数列，公差为rd.如：a十ae十ag,a十as十 当a.<0,d>0时，前n项和有最小值，可 as,a:十ag十ag,…也成等差数列 由am≤0且aw+t≥0，求得n的值. 在等差数列{a.)中，等距离取出若干项也构 成一个等差数列，即aw,ar+t,a+达：a+头 a+,…也成等差数列，公差为kd 61 中职生升学考试复习指导·数学 考题方法突破 0 题型一○等差数列的判定 设该数列为{an},第1天走的路程数为首项a, 【例1】某城市2018年底人口总数为50万，绿 公差为d, 化面积为35万平方米，假定今后每年人口总数 则S,=1260,a1十a1+a7=390. 比上一年增加1.5万，每年新增绿化面积是上 因为S=a1+nn)1Dd,a,=a十(m-1Dd. 2 一年年底绿化面积的5%，并且每年均损失 0.1万平方米的绿化面积（不考虑其他因素）. 所以 9a1 9×(9-1Dd=1260, 2 到哪一年年底，该城市人口总数达到60万（精 a1+a1+3d+a1+6d=390, 确到1年)？ 解得1-100， 【解】由题意知，自2018年起每年人口总数构成 d=10, 等差数列{an}, 则a6=a1+4d=100+4×10=140. 其中首项a1=50,公差d=1.5,通项公式为 所以该男子第5天走140里. an=a1十(n-1)d=50+(n-1)×1.5. ⑧方法技巧 设第n项am=60,即50十(n-1)×1.5=60. (1)用待定系数法求数列的通项公式. 解得n≈7.7. (2)a1,d,n称为等差数列的三个基本 又因为n∈N,所以n=8,2018+8-1=2025. 量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示， 答：到2025年年底，该城市人口达到60万. 五个量a1,d,n,am,S。中可知三求二，一般通 分方法技巧 过通项公式和前项和公式联立方程（组）求 判定一个数列为等差数列的一般方法 解，在求解过程中要注意整体思想的运用。 (1)定义法：从第2项起后一项与前一项 题型三●等差中项及应用 之差为定值。 【例3】已知等差数列{an}中，a1=一2，a1是 (2)通项公式法：am=k十b. 一2与10的等差中项.求： (3)中项公式法：4n=a+十a三 (1)通项公式am; 2 (2)前10项和S. 题型二等差数列的通项公式和前项和公 【解】(1)由a是一2与10的等差中项，得a=4. 式的应用 因为3d=a1-a1=6,所以d=2, 所以an=a1十(n-1)d=2n-4. 【例2】某男子擅长走路，9天共走了1260里， (2)由am=21-4,得a10=16, 其中第1天、第4天、第7天所走的路程之和为 390里.若从第2天起，每天比前一天多走的路 所以前10项和S。=10a,+a)=70. 2 程相同，问该男子第5天走多少里？ 。方法技巧 这是我国古代数学专著《九章算术》中的一个问 题，请尝试解决。 (1)若a,A,b成等差数列，则A=a十也 2 【解】因为从第2天起，