4.4 对数函数-中职生数学升学考试复习指导（适用于高一高二高三）

中职生升学考试复习指导·数学 4.4对数函数 核心知识讲解 1.对数函数的定义 一般地，形如y=logx(a>0且a≠1)的函数称为对数函数，对数函数的定义域为(0，十o∞)，值 域为（一∞，十∞）. 2.指数函数与对数函数的图像与性质 函数 y=a' y=log r 0<a<1 a>1 0<a<1 a>1 图像 定义域 (-00,十0∞) (0,+c) 值域 (0,+0∞) (-0,十0∞) 过定点 (0,1),即x=0时，y=1 (1,0),即x=1时y=0 y值 x<0时，y>1: x<0时，0<y<1: 0<x<1时，y>0: 0<x<1时，y<0: 区域 x>0时，0<y<1 x>0时，y>1 x>1时，y<0 x>1时，y>0 在（一6∞，十0∞）内是 在（一∞，十0∞）内是 在(0，十∞)内是 在(0，十∞)内是 单调性 减函数 增函数 减函数 增函数 a越小， a越大， a越小， a越大， 位置 图像越靠近y轴 图像越靠近y轴 图像越靠近x轴 图像越靠近x轴 奇偶性 非奇非偶函数 a<1(.x>0) a>1(.x>0) logx<0(r>1) log r>0(>1) 函数值的 a=1(.x=0) a'=1(r=0) log=0(r=1) log.r=0(x=1) 变化情况 a>1(.x<0) a<1(x<0) logx>0(0<x<1) 1ogx<0(0<x<1) 3.对数不等式 解题方法：主要方法是化同底，再利用单调性求解，其次是图像法 函数 底数 不等式值 a>1 f(x)>0,g(x)>0,f(x)>g(x) log f(r)>log.g() 0<a<1 f(x)>0,g(x)>0,f(x)<g(x) 50 _________第四章指数函数与对数函数 。，______考题方法突破。 题型一求对数函数的定义域3.所以log，2≤log，3. 当0<a<1时，函数y=logx在(0，+∞)上是 【例1】函数f(x)=g1-1的定义域是减函数，因此自变量越大，函数值越小。因为 （）2≤3.所以log，2≥log，3. A.(0，+∞)B.(0，1)U(1，+∞)方法技巧_ C.(1，+∞)D.(0，10)∪(10，+∞)（1)比较同底数的对数值大小，运用对数 【答案D函数的单调性，若同真数可以考虑画出同一 【解析】看x位置。在分母且在真数位置上。在分坐标系中的图像再比较． 母上，分母整体不等于零，则1gx-1≠0；在真（2)底数与真数都不相同时，经常采用放 数上，真数大于零，则x>0.组成不等式组。解缩法或借助第三个量来比较大小，第三个量 第一个式子得x≠10，解第二个式子得x>0，求通常是0.1，-1等。 两个不等式的交集．(3)底数是字母的要进行分类讨论。 方法技巧… _（1)求对数型函数的定义域，应满足“真题和对数函数的图像 数大于0，底数大于0且不等于1”。其定义域 【例3】已知指数函数y=a^，对数函数y= 一定要写成集合或区间的形式． （2)求函数的定义域时，自变量的取值应 logx的图像如图所示，则下列关系式成立的是 （） 使式子的各部分都有意义，不可遗漏。 y↑ 题型二_比较两个对数的大小 【例2】比较两个对数的大小：______ （1)log_53.og2；=（2)log34，og5， （3)log34，log2；（4)logh5，log5；A.0<a<b<1B.0≤a<1<b （5)log，2，log，3.C.0<b<1<a D.a<0≤1<b 【解】1)因为y=logx，底数大于零小于1.所【答案B 以在(0，+∞)上是减函数。因此自变量越大，函解析】由图像可得指数函数y=a′为减函数，对 数值越小。因为3>2，所以log，s3≤logs2。数函数y=log.x为增函数。故0<a≤1，b>1.所以 （2)因为y=log3x，底数大于1，所以在(0，0<a≤1<b。 +∞)上是增函数，因此自变量越大，函数值越法技巧 指数函数y=a^x的图像过定点(0，1)，当 大。因为4≤5.所以logx4≤log35。 0≤a<1时，函数在(—∞，十∞)上是减函 （3)因为log；4≥0.logs2<0，所以log34>数，a越小，图像越靠近y轴；当a≥1时，函 log2。数在(—∞，+∞)上是增函数，a越大，图像 (4)当a>1时，底数a越大，图像越靠近x轴，越靠近y轴 对数函数y=logx的图像过定点(1， 真数相同。函数值越小。因为3≥2，所以logs5< 0)，当0≤a≤1时，在(0，＋∞)上是减函数，a log25。 越小，图像越靠近x轴；当a>1时，函数在 （5)当a≥1时，函数y=logx在(0，+∞)上是（0，十∞)上是增函数，a越大，图像越靠近x轴 增函数。因此自变量越大，函数值越大，