3.2 函数的性质-中职生数学升学考试复习指导（适用于高一高二高三）

第三章函数 3.2函数的性质 核心知识讲解 1.函数的单调性 方法 步骤 一般地，对于函数y=f(x)在给定区间上 任意两个不相等的值x1,x2,则△x=x2一x1, (1)在定义域内任取x1,2,且x1<x: (2)作差f(x)一f(x),并适当变形（因 △y=f(x)-f(x)=-y.当y>0时，就 △x 式分解、配方等)： 说函数y=f(x)在这个区间上是增函数；当 (3)判断差式的符号并确定其增减性： 作差法 <0时，就说函数y=)在这个区间上是 若f(x)-f(无1)>0，则函数y=f(x) 在这个区间上是增函数；若f(x) 减函数。 f()<0,则函数y=f(x)在这个区间 如果一个函数y=f(x)在某个区间上是增 上是减函数 函数或者是减函数，就说这个函数在这个区间 上具有（严格的）单调性，这个区间就称为这个 直接观察 函数的单调区间.函数的单调区间，一般是指保 图像从左到右逐渐上升则是增函数，图 法（图像 持函数单调性的最大区间. 像从左到右逐渐下降则是减函数 法) 特别提醒 函数的单调性定义中，x,x2的任意性易 单调性的有关结论： 被忽视，若以特殊值代替，易产生错误结论.如 (1)若f(x),g(x)均为增（减）函数，则 函数f(x)=x2,虽然-1<2时，有f(-1)< f(x)十g(x)仍为增（减）函数， f(2)成立，但在区间[一1，十o∞)上函数f(x) (2)若∫(x)为增（减）函数，则一f(x)为减 并不是增函数， (增)函数 2.证明函数y一f(x)的单调性的步骤 (3)y=f(g(.x)是定义在M上的函数，若 方法 步骤 f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数 (1)在给定区间上任取两个不相等的自 f(g(x)为增函数：若f(x)与g(x)的单调性相 变量的值x1,2,则△x=x2一，从而 反，则其复合函数f(g(x)为减函数.简称“同 计算出△y=f()一f()=为一y. 增异减” 定义法 (作商法)》 (2)计算k=合 (4)奇函数在关于原点对称的两个区间上 △x (3)判断：当k>0时，函数y=f(x)在这 的单调性相同：偶函数在关于原点对称的两个 个区间上是增函数：当k<0时，函数 区间上的单调性相反， y=f(x)在这个区间上是减函数 29 中职生升学考试复习指导·数学 3.函数的奇偶性 方法 步骤 函数 定义 图像性质 若函数y=f(x)的图像关于原点对称，则 一个函数是奇 函数f(x)的定义域关于原 函数y=f(x)为奇函数： 函数的充要条 若函数y-f(x)的图像关于y轴对称，则 奇 点对称，如果对于函数f(x) 件是，它的图像 定义域中的任意一个x,都 图像法 函数y-f(x)为偶函数： 是以坐标原点 有f(一x)=一f(x),那么 若函数y=f(x)的定义域不关于原点对 为对称中心的 函数f(x)就称为奇函数 中心对称图形 称或图像不关于原点或y轴对称，则函数 y=f(.x)是非奇非偶函数 函数f(x)的定义域关于 一个函数是偶 原，点对称，如果对于函数 | 函数的充要条 偶十偶=偶： 偶 f(x)定义域中的任意一个 奇十奇=奇： 件是，它的图像 四则 奇×奇=偶： 数 x,都有f(一x)=f(x),那 是以y轴为对 奇X偶=奇 运算法 偶×偶=偶 么函数f(x)就称为偶 称轴的轴对称 函数 图形 奇十偶=非奇非偶 4.奇偶性的判断 特别提醒 方法 步骤 (1)对于常量函数y=c(c为常数)，若定 义域关于原点对称，则函数是偶函数 (门)判断函数的定义域是否关于坐标原点 对称 (2)对于奇函数，若x=0时函数有意义， (2)若不对称，则函数y=f(x)是非奇非 则f(0)=0. 偶函数；若对称，求f(一x),并化简。 (3)判断f(-x)与f(x)的关系，并得出结 (3)一次函数f(x)=kx十b为奇函数的 论：当f(一x)=一f(x)时，函数y=f(x) 定义法 充要条件是b=0. 为奇函数；当f(一x)=f(x)时，函数y f(x)为偶函数：当f(一x)=f(x),且 (4)既是奇函数又是偶函数的函数解析 f(一x)=一f(x)时，函数y=f(x)既是奇 式为f(x)=0(定义域关于原点对称). 函数又是偶函数，则f(x)=0:当f(一x)≠ f(x),且f(一x)≠-f(x)时，函数y=f(x) 是非奇非偶函数 考题方法突破 题型一○函数的单调性 因为x1<x2,所以x1一x2<0. 【例1】 已知函数f代x)=x+子判断fx)在 因为x1,x2∈(1，十0∞)， 所以x1x2>0,x1x一1>0， (1,+∞)上的单调性. 【解】任取x1,x2∈(1，十∞)，且x<x2,则 所以-)-D<0, TIxz f(x1)-f(.x2) 所以f(x1)一f(x2)