3.3 函数的奇偶性-中职生数学基础知识必备清单（适用于高一高二高三）

3.3 函数的奇偶性 考情分析预测←一 【考纲要求】 1.理解奇函数、偶函数的概念。 2.掌握奇函数和偶函数的图像特征，会判断一个函数是奇函数 或偶函数. 3.综合利用函数的单调性和奇偶性解决有关的数学问题， 【考点预测】 :1.利用函数奇偶性求函数值 2.利用定义判断函数奇偶性。 3.单调性和奇偶性的综合应用。 基础知识梳理 人海国 知识点① 奇偶函数的定义 ●注意 般地，如果对于函数f(x)定义域中的任意一个x,都有 若一个函数的定义城不 f(一x)=一∫(x),那么函数∫(x)就称为奇函数.如果对于函数关于原点对称戴图像不 f(x)定义域中的任意一个x,都有f(一x)=f(x),那么函数f(x) 关于原点或y轴对称， 就称为偶函数， 则函裁没有奇偶性 定义中的隐含条件为定义域关于原点对称 重要 如果一个函数是奇函数或者是偶函数，就说这个函数具有奇 偶性。 知识点② 奇偶函数的图像特征 ★拓展 魔是奇函数又是偶函面 一个函数是奇函数的充要条件是，它的图像是以坐标原点为对 数的函戴解析式为 称中心的中心对称图形： f(x)=0(定义城关于 一个函数是偶函数的充要条件是，它的图像是以y轴为对称轴 原点对称，既是奇函数 的轴对称图形. 又是偶函数的函数有 这也是判断一个函数奇偶性的一种方法（图像法）. 无数个) 65·函数第净 知识点③判断函数奇偶性的步骤 求出函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称. 若不对称，则函数是非奇非偶函数 若对称，判断f(一x)=土f(x)是否成立. 若f(一x)=f(x),则函数是偶函数： 若f(一x)=一f(x),则函数是奇函数： 若f(-x)=f(x)且f(一x)=一f(x),则函数既是奇函数又是 偶函数； 若f(一x)≠f(x)且f(一x)≠一f(x),则函数是非奇非偶 函数. 函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个a 定义 都有f(一x)=f(x),那么函数 都有f(一x)=一f(x),那么 f(x)是偶函数 函数f(x)是奇函数 图像特征 关于y轴对称 关于原点对称 知识点④ 常见函数的奇偶性 ★结论 ①常见的奇函数 对于奇函裁，若x=0 (1)f(x)=k.x"(n=2k+1,k∈Z): 时函裁有意义， (2)f(x)="x(n=2k+1,k∈Z): 则f(0)=0. (3)fr）=aa（a>0.a≠1，m≠0： (4)fx)=a+ a'-1 (a>0,a≠1)： 5fx)=log+a>0,a≠1.-1Kx<1): (6)f(x)=log(W1十x2士x)(a>0,a≠1)： ★拓展 (7)f(x)=sin ax; 对于常量函裁y=C (8)f(x)=tan ax. (c为常数)，若定义城 ②常见的偶函数 关于原点对称，则函数 (1)f(x)=ax"(n=2k,kEZ); 是偶函最 悬泽中职生基础知识必备清单>6 ‘+a-(a>0，a≠1，m≠0)； （2)f(x)=m （3)f(x)=|x|； （4)f(x)=cosax。 重点难点突破_ 题型①正确理解函数奇偶性的定义 、方法)留导—— 如果我们知道函数的奇偶性，就可以求其对称区间上的 函数值，然后利用奇偶性的性质求其函数值。 例1已知奇函数f(x)，当x>0时，f(x)=x2+3x，那么提示 f(-2)=___． 根据函数奇偶性，把求 f(-2)的值转化成求_ Iwn由f(x)为新函数可知f(-x)=-J(x)，-f(2)的值。 则f(-2)=-j(2)。 又当x>0，f(x)=x^2+3x，则f(2)=22+3×2=10， 故f(-2)=-f(2)=-10. 答案，-10° 变式1已知f(x)是奇函数，且它的图像经过点(1，2)，则提示 f(-1)=___． 过点(1，2)，即f(1)= 2，所以奇函数f(-1) 题型②奇偶函数的图像特征与其互为相反数。 、方法)指导—— 一个函数是奇函数的充要条件是其图像关于原点对称； 一个函数是偶函数的充要条件是其图像关于y轴对称 例2，下列图像表示的函数是奇函数的是(） n°_↑”_↑y A C 67函发C 解析 判新函数的奇偶性，首先判断函薮的定义城是否关于原点 ※提示 对称，熊后判断图像是否关于原点或y轴对称.B选项的定 奇函数为中心对称因 形，关于原点对称；偶 义域为（一3,3]不关于原点对称，是非奇非偶函数.C选项 函数为轴对称图形，关 的定义域为（一∞，十∞），但图像不关于原点对称，也不关 于y轴对称. 于y轴对称，是非奇非偶函数：D选项的因像关于y轴对称， 是偶函. 答家 A 变式2已知偶函数f(x)在(0，十∞)上的图像如图所示，则在 *提示 偶函裁的因像关于y (一，0)上的图像可能是() 轴对称. A B D 题型3) 判断函数奇