(普查练习)第45课 排列与组合-【提分宝典】2024版新高考数学一轮全考点普查随堂课后练

第45课 排列与组合 普查与练习45　排列与组合 1．排列问题 a．无限制条件的排列问题 (1)(经典题，5分)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法有________种．(用数字作答) 解析：从7本不同的书中选3本送给3名同学，即从7个元素中任取3个元素的一个排列，∴共有A＝7×6×5＝210(种)不同的送法． b．有限制条件的排列问题 (2)(贵州贵阳月考，5分)中国书法一般分为篆书、隶书、行书、楷书和草书这5种字体，其中篆书分大篆和小篆，隶书分古隶和汉隶，草书分章草、今草和狂草，行书分行草和行楷，楷书分魏碑和唐楷．为了弘扬传统文化，某书法协会采用楷书、隶书和草书3种字体书写6个福字，其中隶书字体的福字分别用古隶和汉隶书写，草书字体的福字分别用章草、今草和狂草书写，楷书字体的福字用唐楷书写．将这6个福字排成一排，要求相同类型字体的福字相邻，则不同的排法种数为________． 解析：根据题意，分3步进行分析： ①将隶书、草书、楷书这3种字体书写的福字各自看作整体，进行全排列，有A种排法； ②将古隶和汉隶书写的福字进行排列，有A种排法； ③将章草、今草和狂草书写的福字进行排列，有A种排法． 根据分步乘法计数原理，不同的排法种数为AAA＝72.　 (3)(浙江杭州期中，4分)包含甲、乙在内的5人站成一行，如果甲、乙不相邻，那么不同的排法种数是(　　) A．12 B．36 C．72 D．120 解析：根据题意，分2步进行分析：①先把除甲、乙外的其他三人排成一排，有A＝6(种)情况，排好后有4个空位；②在4个空位中，任选2个，安排甲、乙，有A＝12(种)情况．∴共有6×12＝72(种)不同的排法．故选C. (4)(2022新高考Ⅱ真题，5分)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有(　　) A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 解析：(法一)把丙和丁捆绑在一起，与另外3个人任意排列，有AA＝48(种)排法，其中甲站在两端有2AA＝24(种)排法，所以甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有48－24＝24(种)．故选B. (法二)把丙和丁捆绑在一起，并与乙、戊排列，有AA＝12(种)排法，丙、丁这个整体与乙、戊之间共形成2个非两端的空，将甲插入这2个空中，有2种排法，所以甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有12×2＝24(种)．故选B. (法三)丙和丁进行排列，有A种排法．把丙和丁捆绑在一起与另外3人，共4个元素进行排列，先排甲，有2种排法，剩下3个元素进行排列，有A种排法，所以甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有2AA＝24(种)．故选B. (5)(北京海淀区校级期中，4分)将A，B，C，D，E排成一列，要求A，B，C在排列中顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，这样的排列数为(　　) A．12 B．20 C．40 D．60 解析：五个元素没有限制的全排列数为A，由于要求A，B，C的次序一定(按A，B，C或C，B，A)，故除以这三个元素的全排列数A再乘2，可得这样的排列数为×2＝40.故选C. 2．组合问题 a．无限制条件的组合问题 (6)(山东潍坊模拟，5分)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有(　　) A．120种 B．90种 C．60种 D．30种 解析：先从6名同学中选1名去甲场馆，选法有C种； 再从余下的5名同学中选2名去乙场馆，选法有C种； 余下的3名同学都去丙场馆，选法有C种． 所以不同的安排方法共有CCC＝60(种)．故选C. (7)(重庆期末，5分)平面内有两组平行线，一组有3条，另一组有4条，且这两组平行线相交，可以构成不同的平行四边形个数为(　　) A．10 B．12 C．16 D．18 解析：因为平面内有两组平行线，一组有3条，另一组有4条，且这两组平行线相交，因此从这两组直线中各选两条直线，即可构成平行四边形，所以构成不同的平行四边形个数为CC＝18.故选D. b．有限制条件的组合问题 (8)(2024汇编，16分) 从7名男生、5名女生中选取5人，A，B为12人中的两人，分别求符合下列条件的选法总数． (Ⅰ)A，B必须当选； (Ⅱ)A，B必不当选； (Ⅲ)A，B不全当选； (Ⅳ)至少有2名女生当选； (Ⅴ)至多有2名女生当选； (Ⅵ)既有男生又有女生当选； (Ⅶ)必须有女生当选； (Ⅷ)至少有2名男生和2名女生当选． 解：(Ⅰ)由于A，B必须当选，那么从剩下的10人中任意选取3人即可，此时有CC＝120(种)选法．(2分) (Ⅱ)从除去A，B两人的10人中任选5人即