(普查练习)第19课 平面向量基本定理及坐标表示-【提分宝典】2024版新高考数学一轮全考点普查随堂课后练

第19课 平面向量基本定理及坐标表示 普查与练习19　平面向量基本定理及坐标表示 1．平面向量基本定理及其应用 a．基底的判断 (1)(2024汇编，5分)下面几种说法中，正确的是________．(填序号) ①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ②零向量不可以作为基底中的向量； ③a＝λe1＋μe2可以表示平面内的所有向量； ④若e1，e2是平面α内不共线的两个向量，则e1－2e2与4e2－2e1可作为表示平面α内所有向量的一组基底； ⑤e1，e2是平面内不共线的两个向量，若λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0； ⑥同一向量在不同基底下的表示是相同的； ⑦若e1，e2是平面α内不共线的两个向量，则对于平面α内的任意向量a，使a＝λe1＋μe2成立的实数对有无穷多个． 解析：①错误：只要是不共线的一对向量就可以作为表示该平面内所有向量的基底，基底的选取并不是唯一的；②正确：零向量和任何向量都共线，与基底的定义不符；③错误：根据平面向量基本定理可知，e1，e2必须是不共线向量；④错误：因为e1－2e2＝－(4e2－2e1)，所以向量e1－2e2，4e2－2e1是共线向量，不能作为表示平面α内所有向量的一组基底；⑤正确：因为e1，e2为一组不共线向量，若λe1＋μe2＝0, 即λe1＝－μe2，只有当λ＝μ＝0时，才能成立；⑥错误：基底不同，向量的表示也不同，当基底确定后，向量的表示才是唯一的；⑦错误：根据平面向量基本定理可知，实数对(λ，μ)只有唯一一对． b．用已知基底表示向量 (2)(广东中山月考，5分)我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若＝a，＝b，＝3，则＝(　　) A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 解析：根据题意知＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋， 即＝＋，解得＝＋，即＝a＋b.故选B. (3)(广州大学附属中学月考，5分)如图所示的△ABC中，点D是线段AC上靠近A的三等分点，点E是线段AB的中点，则＝(　　) A．－－ B．－－ C．－－ D．－＋ 解析：(法一)依题意知＝＋＝－－＝－＋－＝－－.故选B. (法二) 依题意知＝＋＝－＋＝()－＋＝－－.故选B. c．选择合适的基底表示向量 (4)(山东济南二模，5分)如图，△ABC是边长为3的等边三角形，D在线段BC上，且＝2，E为线段AD上一点．若△ABE与△ACD的面积相等，则·的值为(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：∵D在线段BC上，且＝2， ∴S△ACD＝S△ABD. 又∵点E为线段AD上一点，△ABE与△ACD的面积相等，∴S△ABE＝S△ABD，则E为AD的中点， ∴＝(＋)＝＝－＋． ∴·＝·＝－·＋·＝×3×3×cos60°＝－. 故选D. d．利用基底的唯一性求参数 (5)(重庆铜梁区期末，5分)在△ABC中，点D是线段BC上的任意一点，点P满足＝3.若存在实数m和n，使得＝m＋n，则m＋n＝(　　)　 A. B. C．－ D．－ 解析：(法一)因为点D在线段BC上，所以设＝t＋(1－t)，0≤t≤1，所以＝－＝－＝[t＋(1－t)]－＝＋. 又因为＝m＋n，所以所以m＋n＝－.故选D. (法二)不妨令△ABC为以点B为直角顶点的直角三角形，点D与点B重合．由＝3可知＝－.又因为＝m＋n，所以m＝－，n＝0，所以m＋n＝－.故选D. 2．平面向量的坐标运算 a．向量坐标的求法 (6)(2022全国乙真题，5分)已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，则|a－b|＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：因为a－b＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)，所以|a－b|＝＝5.故选D. (7)(2024汇编，16分)已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b. (Ⅰ)求3a＋b－3c； (Ⅱ)求满足a＝mb＋nc的实数m，n； (Ⅲ)求与向量共线的单位向量； (Ⅳ)在平行四边形ABPQ中，＝(2，－3)，求点Q的坐标．　　　　　　　　 解：由已知得a＝＝(3，－1)－(－2，4)＝(5，－5)， b＝＝(－3，－4)－(3，－1)＝(－6，－3)， c＝＝(－2，4)－(－3，－4)＝(1，8)．(3分) (Ⅰ)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝ (15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(5分) (Ⅱ)∵a＝mb＋nc， ∴(5，－5)＝m(－6，－3)＋n(1，8)＝(－6m＋n，－3m＋8n)， ∴解得(8分) (Ⅲ)∵