(普查练习)第17课 函数y＝Asin(ωx＋φ)-【提分宝典】2024版新高考数学一轮全考点普查随堂课后练

第17课 函数y＝Asin(ωx＋φ) 普查与练习17　函数y＝Asin(ωx＋φ) 1．“五点法”画正、余弦型函数的图像 (1)(广东珠海模拟节选，6分)已知函数f(x)＝cos(x＋)＋sinx.利用“五点法”列表，并画出f(x)在上的图像． 解：函数f(x)＝cos＋sinx＝cosxcos－sinxsin＋sinx＝cosx＋sinx＝sin.(3分) 利用“五点法”列表如下： x＋ 0 π 2π x － f(x) 0 1 0 －1 0 画出f(x)在上的图像，如图所示． (6分) 2．三角函数图像变换 a．常见的三角函数图像变换 (2)(2022浙江真题，4分)为了得到函数y＝2sin3x的图像，只要把函数y＝2sin的图像上所有的点(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 解析：因为y＝2sin3x＝2sin，所以把函数y＝2sin的图像上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数y＝2sin3x的图像． 故选D. (3)(2021全国乙真题，5分)把函数y＝f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图像，则f(x)＝(　　)　　　　　　　　　　　　　　 A．sin B．sin C．sin D．sin 解析：(法一)函数y＝f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到y＝f(2x)的图像，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到y＝f的图像． 根据已知得到函数y＝sin的图像， 所以f＝sin. 令t＝2，则x＝＋，x－＝＋， 所以f(t)＝sin，即f(x)＝sin. 故选B. (法二)由函数y＝sin的图像逆向变换． 第一步：向左平移个单位长度，得到y＝sin(x＋－)＝sin的图像； 第二步：图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin的图像，即为y＝f(x)的图像，所以f(x)＝sin.故选B. (4)(经典题，5分)如果将函数y＝sinx＋cosx的图像向右平移θ个单位得到函数y＝3sinx＋acosx(a＜0)的图像，则tanθ的值为(　　)　　　　　　　　　 A．2 B. C. D．3 解析：函数y＝sinx＋cosx＝(sinx＋cosx)＝sin，将其图像向右平移θ个单位后，可得到函数y＝sin的图像． 函数y＝3sinx＋acosx＝sin(x＋φ)，其中tanφ＝. 由题可知，y＝sin与y＝sin(x＋φ) 表示同一函数，∴＝，且－θ＋2kπ＝φ，k∈Z.又a＜0，∴a＝－1，此时tanφ＝－. ∵θ＝－φ＋2kπ，k∈Z， ∴tanθ＝tan＝＝2.故选A. b．诱导公式在三角函数图像变换中的应用 (5)(安徽池州适应性考试，5分)已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　) A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2 B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2 C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2 D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2 解析：因为C2：y＝sin＝sin(2x＋＋)＝cos，故把问题转化为由y＝cosx的图像经何种变换得到y＝cos的图像．将y＝cosx的图像上各点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到y＝cos2x的图像，再将y＝cos2x的图像向左平移个单位长度得到y＝cos的图像．故选D. (6)(经典题，5分)将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)图像上每一点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度得到y＝cosx的图像，则f＝(　　) A．1　　 B.　 C.　 D．－ 解析：(法一)由题意可知，函数y＝cosx的图像先向右平移个单位长度，得到y＝cos的图像；再将其图像上的每一点的横坐标缩短至原来的(纵坐标不变)，可以得到函数y＝cos的图像，即函数y＝f(x)的图像，∴f(x)＝cos，∴f＝.故选C. (法二)将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)图像上每一点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，可得y＝sin的图像； 再将其图像向左平移个单位长度，可得y＝sin[ω(x＋)＋φ]＝sin(ωx＋＋φ)的图像． ∵最终得到y＝cosx＝sin的图像，∴ω＝1，＋φ＝2kπ＋，k∈Z，∴ω＝2，φ＝2kπ－，k∈Z.∵－<φ<，