(普查练习)第16课 三角恒等变换-【提分宝典】2024版新高考数学一轮全考点普查随堂课后练

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 第16课 三角恒等变换 普查与练习16 Ⅰ　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1．两角和与差公式 a．两角和差公式的基本应用 (1)(2022新高考Ⅱ真题，5分)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cossinβ，则(　　) A．tan(α－β)＝1 B．tan(α＋β)＝1 C．tan(α－β)＝－1 D．tan(α＋β)＝－1 解析：由题意得，sinαcosβ＋cosαsinβ＋cosαcosβ－sinαsinβ＝2×(cosα－sinα)sinβ，即sinαcosβ－cosαsinβ＋cosαcosβ＋sinαsinβ＝0，即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0，即sin(α－β)＝ －cos(α－β)，所以tan(α－β)＝＝＝－1.故选C. (2)(全国Ⅲ经典真题，5分)已知2tanθ－tan(θ＋)＝7，则tanθ＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：由2tanθ－tan＝7，得2tanθ－＝7， 即2tanθ－2tan2θ－tanθ－1＝7－7tanθ， 整理得(tanθ－2)2＝0，所以tanθ＝2.故选D. b．两角和差公式的逆用及变形应用 (3)(陕西咸阳月考，5分)设a＝tan16°＋tan14°＋tan16°tan14°，b＝sin44°cos14°－cos44°sin14°，c＝cos44°cos14°＋sin44°sin14°，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c>a>b B．c>b>a C．b>a>c D．a>b>c 解析：∵a＝tan16°＋tan14°＋tan16°tan14°＝tan30°(1－tan16°tan14°)＋tan16°tan14°＝tan30°＝， b＝sin44°cos14°－cos44°sin14°＝sin(44°－14°)＝sin30°＝，c＝cos44°cos14°＋sin44°sin14°＝cos(44°－14°)＝cos30°＝，∴c>a>b.故选A. c．辅助角公式的基本应用 (4)(2024改编，5分)已知角α为第一象限角，＝，则实数a的取值范围为______． 解析：由题意得a＝sinα＋cosα＝sin. 因为2kπ<α<2kπ＋，k∈Z， 所以2kπ＋<α＋<2kπ＋，k∈Z， 所以<sin≤1， 所以实数a的取值范围为. (5)(2022浙江真题，6分)若3sinα－sinβ＝，α＋β＝，则sinα＝________，cos2β＝________． 解析：∵α＋β＝，∴sinβ＝sin＝cosα， 同理可得cosβ＝sinα. 又∵3sinα－sinβ＝，∴3sinα－cosα＝， 即sinα－cosα＝1. 令sinθ＝，cosθ＝，则sin(α－θ)＝1， ∴α－θ＝＋2kπ，k∈Z，即α＝θ＋＋2kπ，k∈Z， ∴sinα＝sin＝cosθ＝ ， ∴cos2β＝2cos2β－1＝2sin2α－1＝. 故答案为；. 2．二倍角公式 a．二倍角正弦公式的应用 (6)(辽宁期中改编，5分)若函数f(x)＝sinxcosx，则f的值为________． 解析：∵f(x)＝sinxcosx＝sin2x，∴f＝sin(2×)＝sin＝×＝. (7)(贵州月考，5分)若3sinθ－cosθ＝0，则sin2θ＝(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：因为3sinθ－cosθ＝0，显然cosθ≠0，所以tanθ＝，所以sin2θ＝＝＝＝＝，故选A. b．二倍角余弦公式的应用 (8)(2024汇编，25分)按要求完成下列各题． ①若sinx＝－，则cos2x＝________．(全国Ⅱ经典真题) ②已知sin2＝，则sin2α的值是______．(江苏经典真题) ③函数f(x)＝sin22x的最小正周期是________．(北京经典真题) ④已知α∈(0，π)，且3cos2α－8cosα＝5，则sinα＝(　　)(全国Ⅰ经典真题) A. B. C. D. ⑤cos2－cos2＝(　　)(2021全国乙真题) A. B. C. D. 解析：①∵sinx＝－， ∴cos2x＝1－2sin2x＝1－2×2＝. ②由sin2＝＝＝，得sin2α＝. ③f(x)＝sin22x＝＝－cos4x＋，则最小正周期为＝. ④由3cos2