(普查练习)第15课 三角函数的图像和性质-【提分宝典】2024版新高考数学一轮全考点普查随堂课后练

第15课 三角函数的图像与性质 普查与练习15　　　　三角函数的图像与性质 1．三角函数的周期性 (1)(多选)(海南模拟，5分)下列函数中，以4π为周期的函数有(　　) A．y＝tan B．y＝sin C．y＝sin|x| D．y＝cos|x| 解析：对于A：函数y＝tan的最小正周期为4π，故A正确； 对于B：函数y＝sin的最小正周期为8π，故B不正确； 对于C：根据图像可知函数y＝sin|x|不是周期函数，故C不正确； 对于D：y＝cos|x|＝cosx，最小正周期为2π， 所以4π也是它的一个周期，故D正确．故选AD. (2024改编，5分)在函数①y＝|sin(x＋)＋|，②y＝2sin2x·，③y＝，④y＝|sinx＋cosx|＋|sinx－cosx|中，最小正周期为π的函数个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：①先画出函数y＝sinx的图像，再将其向左平移个单位长度，向上平移个单位长度，最后将x轴下方的图像“翻折”至x轴上方，即可得到函数y＝的图像，由图可知，函数的最小正周期为T＝2π. ②函数的定义域为{x|x≠＋kπ，k∈Z}, y＝2sin2x·＝2sin2x·＝2sin2x·cos2x＝sin4x，画出函数图像，如图所示，由图可知函数的最小正周期为T＝π. ③由已知得y＝＝＝sinxcosx＝sin2x，则函数的最小正周期为T＝＝π. ④根据诱导公式，易得 |sin＋cos|＋|sin－cos| ＝|cosx－sinx|＋|cosx＋sinx| ＝|sinx＋cosx|＋|sinx－cosx|， 所以函数的一个周期为，所以函数y＝|sinx＋cosx|＋|sinx－cosx|的最小正周期一定小于π.故选B. (2)(2024汇编，15分)已知函数f(x)＝cos(ωx－)·cos(ω>0)． ①若函数f(x)的最小正周期为π，则ω＝(　　) A．2 B．1 C. D．π ②若x1＝－，x2＝是函数f(x)的两个相邻的极值点，则ω＝(　　) A．2 B. C．1 D. ③若函数f(x)的图像上相邻两对称轴之间的距离为，则ω＝(　　) A. B. C. D．1 解析：∵ωx＋－＝， ∴ωx＋＝＋， ∴f(x)＝coscos＝－sincos＝－sin. ①∵f(x)的最小正周期是π，∴＝π，∴ω＝1.故选B. ②由题意可知，函数f(x)＝－sin的最小正周期为T＝2×＝π＝，∴ω＝1.故选C. ③函数f(x)的图像上相邻两条对称轴之间的距离为，则T＝2×＝＝，解得ω＝.故选A. (3)(2024汇编，9分)设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0. (Ⅰ)若f＝，f＝0，且相邻两个零点之间的距离大于π，|φ|≤π，则(　　)(北京海淀区三模，4分) A．ω＝，φ＝－ B．ω＝，φ＝ C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝－ (Ⅱ)若f＝，f＝－，则ω的最小值为__________． 解析：设f(x)的最小正周期为T. (Ⅰ)因为函数f(x)相邻两个零点之间的距离大于π，所以f(x)的最小正周期T>2π. 由f＝，f＝0，得(2n＋1)×＝－＝(n∈N)，解得T＝(n∈N)． 当n≥1时，T≤π，不符合题意，故n＝0，此时T＝3π， 所以ω＝＝，所以f(x)＝sin. 由f＝sin＝， 得sin＝1，所以φ＋＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z. 当k＝0时，φ＝，满足题意，所以ω＝，φ＝.故选B. (Ⅱ)因为f＝，f＝－，所以(2m＋1)×＝－＝(m∈N)． 又因为T＝，所以＝(m∈N)，即ω＝2(2m＋1)(m∈N)，所以当m＝0时，ω取得最小值2. (4)(广东二模，5分)若函数y＝sinωx与y＝cosωx图像的任意连续三个交点构成边长为4的等边三角形，则正实数ω＝(　　) A. B．1 C. D．π 解析：作出函数y＝sinωx与y＝cosωx的图像，设两图像任意相邻的三个交点分别为A，B，C，如图所示． 由题意可知△ABC为等边三角形，且AC＝4， 所以函数y＝sinωx的最小正周期T＝AC＝4. 因为|ω|＝＝＝，且ω为正实数，所以ω＝.故选C. 2．三角函数的奇偶性 (5)(2024汇编，15分)已知函数f(x)的最小正周期为4π，f(φ)＝1，f(ωx－φ)＝2sin(ω＞0，0＜φ＜π)． ①函数f(x)是__________函数；(填“奇”“偶”或“非奇非偶”) ②函数g(x)＝是________函数；(填“奇”“偶”或“非奇非偶”) ③若函数f(x－m)(m>0)是奇函数，则实数m的最小值是______． 解析：①由题意，令ωx－φ＝t，可得x＝， 则f(t)＝2sin， 可得f(x)的解析式为f