(普查练习)第12课 函数与方程-【提分宝典】2024版新高考数学一轮全考点普查随堂课后练

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 第12课 函数与方程 普查与练习12　　　　函数与方程 1．函数零点所在区间的判断 a．利用零点存在定理判断函数零点所在区间 (1)(多选)(湖北荆州四模，5分)在下列区间中，函数f(x)＝ex－4x－3一定存在零点的区间为(　　) A. B．(－e，3) C. D. 解析：由f(x)＝ex－4x－3，得f′(x)＝ex－4. 令f′(x)＝0，即ex－4＝0，解得x＝ln4， ∴当x∈(－∞，ln4)时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈(ln4，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 对于A，f(－1)＝＋1>0，f＝－5<0， ∴f(x)在内一定存在零点，故A正确； 对于B，f(－e)＝e－e＋4e－3>0，f(3)＝e3－15>0. 又∵－e<ln4<3，f(ln4)＝eln4－4ln4－3＝1－4ln4<0， ∴f(x)在(－e，3)内一定存在零点，故B正确； 对于C，f(0)＝－2<0，f<0. ∵<ln4，∴f(x)在上单调递减， ∴f(x)在内一定不存在零点，故C错误； 对于D，f(－1)>0，f＝－－3<0， ∴f(x)在内一定存在零点，故D正确． 故选ABD. b．利用数形结合法判断函数零点所在区间 (2)(天津南开中学模拟，5分)函数y＝lnx－的零点所在的大致区间是(　　) A. B．(1，2) C．(2，e) D．(e，＋∞) 解析：(法一)令f(x)＝lnx－. 因为函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(2)＝ln2－1<0，f(e)＝1－>0，f(2)·f(e)<0， 所以函数f(x)的零点所在的大致区间是(2，e)． 故选C. (法二)令f(x)＝lnx，g(x)＝，则函数y＝lnx－的零点即为函数f(x)与g(x)图像交点的横坐标．在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)，g(x)的图像，如图所示： 由图可知，f(x)，g(x)图像交点的横坐标在(2，e)内，所以函数y＝lnx－的零点所在的区间为(2，e)．故选C. 2．函数零点个数的判断 a．利用零点存在定理法判断函数零点个数 (3)(江苏苏州月考节选，5分)已知函数g(x)＝x2－1－2sinx，则g(x)在区间(0，π)上有________个零点． 解析：g(x)＝x2－1－2sinx，x∈(0，π)， 则g′(x)＝2x－2cosx. ①当x∈时，g′(x)>0，g(x)单调递增． 又g＝－3<0，g(π)＝π2－1>0， ∴g(x)在区间上有一个零点． ②当x∈时，设h(x)＝g′(x)＝2x－2cosx， 则h′(x)＝2＋2sinx>0， ∴g′(x)在区间上单调递增． 又g′(0)＝－2<0，g′＝π>0， ∴存在x0∈，使g′(x0)＝0， ∴当x∈(0，x0)时，g′(x)<0，g(x)单调递减； 当x∈时，g′(x)>0，g(x)单调递增． 又g(0)＝－1<0，g<0， ∴g(x)在区间上无零点． 综上，函数g(x)在区间(0，π)上只有一个零点． b．利用解方程法判断函数零点个数 (4)(北京海淀区期中，5分)已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点个数为________． 解析：函数f(x)的零点个数即为方程f(x)＝0的实数根的个数．当x<1时，令(x＋1)ex＝0，因为ex>0，所以x＋1＝0，解得x＝－1；当x≥1时，令x2－2x＝0，解得x＝2，所以方程f(x)＝0有两个实数根，所以函数f(x)的零点个数为2. c．利用数形结合法判断函数零点个数 (5)(重庆模拟，5分)若函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2，则函数y＝f(x)与函数y＝lg|x|的图像的交点个数为(　　) A．18 B．16 C．14 D．10 解析：因为f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2，所以函数f(x)是以2为最小正周期的周期函数，且为偶函数． 令lgx＝1，则x＝10，所以函数y＝lgx的图像过点(10，1)．　 在同一平面直角坐标系内作出x>0时函数y＝f(x)与函数y＝lg|x|＝lgx的图像，如图所示． 观察图像可知，当x>0时，函数y＝f(x)与函数y＝lg|x|的图像有9个交点． 易知函数y＝lg|x|也为偶函