(普查练习)第10课 对数与对数函数-【提分宝典】2024版新高考数学一轮全考点普查随堂课后练

第10课 对数与对数函数 普查与练习10　　　　对数与对数函数 1．对数式的化简与求值 (1)(2021天津真题，5分)若2a＝5b＝10，则＋＝(　　) A．－1 B．lg7 C．1 D．log710 解析：2a＝5b＝10，则a＝log210，b＝log510， 所以＋＝＋＝lg2＋lg5＝lg10＝1. 故选C. (2)(2021全国甲真题，5分)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(　　)(≈1.259) A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 解析：由L＝5＋lgV得，当L＝4.9时，lgV＝－0.1， 则V＝10－0.1＝10－＝≈≈0.8.故选C. (3)(2024汇编，35分)完成下列各题． ①＝________． ②lg5(lg8＋lg1000)＋(lg2)2＋lg＋lg0.06＝________． ③log625·log5216＝________． ④化简(2log43＋log83)(log32＋log92)的值为(　　)(2022天津真题) A．1 B．2 C．4 D．6 ⑤已知lgx＋lgy＝2lg(2x－3y)，则log＝________．　 ⑥已知4a＝8，2m＝9n＝6，且＋＝b，则a＋b＝________． ⑦＝________． 解析：①原式＝＝ ＝＝＝＝. ②原式＝lg5×(3lg2＋3)＋3×(lg2)2＋lg(×0.06) ＝3lg5×lg2＋3lg5＋3×(lg2)2－2 ＝3lg2＋3lg5－2 ＝1. ③log625·log5216＝log6216·log525＝log663·log552＝3×2＝6. ④(法一)(2log43＋log83)(log32＋log92) ＝ ＝ ＝··· ＝2.故选B. (法二)(2log43＋log83)(log32＋log92) ＝(log32＋) ＝ ＝log23·log32 ＝2.故选B. ⑤∵lgx＋lgy＝2lg(2x－3y)， ∴解得＝， ∴log＝log＝2. ⑥∵4a＝8，2m＝9n＝6， ∴a＝log48＝log22＝，m＝log26，n＝log96， ∴＝log62，＝log69， ∴b＝＋＝log62＋log69＝log62＋log63＝1， ∴a＋b＝. ⑦原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝1. 2．对数函数的图像及性质 a．对数型函数图像恒过定点问题 (4)(四川成都三模，5分)已知函数f(x)＝loga(x－1)＋1(a>0且a≠1)的图像恒过定点A，过定点A的直线l：mx＋ny＝1与坐标轴的正半轴相交，则mn的最大值为(　　) A. B. C. D. 解析：已知l：mx＋ny＝1，即y＝－x＋. ∵直线l与坐标轴的正半轴相交， ∴－<0，>0，∴m>0，n>0. 令x－1＝1，即x＝2，得f(2)＝1， 则A(2，1)，则2m＋n＝1， ∴1＝2m＋n≥2，∴mn≤， 当且仅当2m＝n，即m＝，n＝时，等号成立． 故选C. b．辨析与对数函数有关的函数图像 (5)(内蒙古通辽模拟，5分)若函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0且a≠1)在R上既是奇函数又是减函数，则g(x)＝loga|x＋k|的大致图像是(　　) A B C D 解析：因为函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0，a≠1)在R上是奇函数，所以f(0)＝0，即k－1－1＝0，解得k＝2，经检验，k＝2时，f(x)＝ax－a－x为奇函数． 又因为f(x)为减函数，所以0<a<1，所以g(x)＝loga|x＋2|在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，其大致图像为B.故选B. c．利用对数函数的图像与性质求值或取值范围　　　　　　　　　　　 (6)(2024改编，5分)函数f(x)＝2x－－2lnx的最小值为________． 解析：在同一平面直角坐标系中作出函数y1＝2x－，y2＝2lnx的图像，如图所示： 设点M(x0，y0)是y2＝2lnx图像上的任意一点， 则在该点处的切线方程为y＝(x－x0)＋y0. 令＝2，得x0＝1，因此，函数y2＝2lnx的图像在点(1，0)处的切线与直线y1＝2x－平行，∴f(x)min＝2x0－－2lnx0＝2×1－－2ln1＝.故函数f(x)的最小值为. (7)(辽宁大连模拟，5分)中国科学院院士吴文俊在研究中国古代