(普查练习)第9课 指数与指数函数-【提分宝典】2024版新高考数学一轮全考点普查随堂课后练

第9课 指数与指数函数 普查与练习9　　　　指数与指数函数 1．指数幂的化简与求值 a．根式与指数幂的运算 (1)(2024汇编，15分)完成下列各题． ①若＝，则实数a的取值范围是________． ② =_____． ③＝________． 解析：①左边＝＝， 右边＝1－2a, 即＝1－2a, ∴2a－1≤0，解得a≤， 则实数a的取值范围是{a|a≤}． ② ＝a. ③原式＝. (2)(全国Ⅱ经典真题，5分)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：＋＝(R＋r).设α＝，由于α的值很小，因此在近似计算中≈3α3，则r的近似值为(　　) A.R B.R C.R D.R 解析：∵α＝，∴r＝αR. 又r满足方程：＋＝(R＋r)， ∴＋＝(1＋α)·， 即＝M1＝M1·， ∴＝≈3α3，∴r＝αR≈R. 故选D. b．用“整体代换法”化简求值 (3)(2024汇编，14分)按要求完成下列各题． ①若，为方程x2－3x＋a＝0的两根，则＝________． ②已知xα＋x－α＝2，x＞1，α＜0，则xα－x－α＝________． ③已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝(　　)(2022浙江真题，4分) A．2解析：①∵，为方程x2－3x＋a＝0的两根， ∴＝3， ∴＝()·(x＋x－1－1) ＝()·[()2－3] ＝3×(32－3)＝18， x2＋x－2＝(x＋x－1)2－2 ＝[()2－2]　2－2 ＝(32－2)2－2＝47， ∴＝＝. ②由x＞1，α＜0，可得xα＜x－α.∵xα＋x－α＝2，∴x2α＋2＋x－2α＝20，∴x2α＋x－2α＝18，∴xα－x－α＝－＝－＝－＝－4. ③由b＝log83＝log23，得3b＝log23，∴23b＝3， ∴4a－3b＝＝＝＝.故选C. A.5 B. 5 C. D. 2．指数函数的图像和性质 a．指数函数的概念 (4)(2024改编，5分)若函数f(x)＝(kb＋3)ax＋b－1(a＞0且a≠1)是指数函数，则k2＋b2＝______． 解析：因为函数f(x)＝(kb＋3)ax＋b－1(a＞0且a≠1)是指数函数，所以kb＋3＝1，且b－1＝0，解得k＝－2，b＝1，所以k2＋b2＝5. b．指数型函数图像恒过定点问题 (5)(安徽合肥月考，5分)若函数f(x)＝2ax＋m－n(a＞0，且a≠1)的图像恒过点(－1，4)，则m＋n＝(　　) A．3　 B．1 C．－1 D．－2 解析：∵函数f(x)＝2ax＋m－n(a＞0，且a≠1)的图像恒过点(－1，4)，∴解得 ∴m＋n＝－1.故选C. c．辨析与指数函数有关的函数图像 (6)(吉林长春模拟，5分)如图，①②③④中不是函数y＝2x，y＝3x，y＝x的图像的是(　　) A．① B．② C．③ D．④ 解析：因为函数y＝2x与y＝x的图像关于y轴对称，且y＝3x与y＝2x均单调递增，在第一象限中，y＝3x的图像比y＝2x的图像更靠近y轴，所以①③④分别为y＝，y＝3x，y＝2x的图像．故选B. (7)(广东深圳期中，5分)已知函数f(x)＝x－4＋，x∈(0，4)，当x＝a时， f(x)取得最小值b，则函数g(x)＝a|x＋b|的图像为(　　) A B C D 解析：∵x∈(0，4)，∴x＋1＞1，∴f(x)＝x－4＋＝x＋1＋－5≥2－5＝1，当且仅当x＝2时，等号成立，∴a＝2，b＝1, ∴函数g(x)＝2|x＋1|＝函数g(x)的图像可以由函数y＝的图像向左平移1个单位得到，结合指数函数的图像可知A正确．故选A. d．利用指数函数的图像求取值范围 (8)(经典题，5分)若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞) C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞) 解析：∵存在正数x使2x(x－a)<1成立，即存在正数x使x－a<成立，即存在正数x使函数y＝x－a的图像在函数y＝的图像的下方．在坐标系中画出图像，如下图： 由图像可知当－a<1，即a>－1时，存在正数x使2x(x－a)<1成立，∴a的取值范围为(－1，＋∞)．故选D