(普查练习)第7课 函数的基本性质-【提分宝典】2024版新高考数学一轮全考点普查随堂课后练

第7课 函数的基本性质 普查与练习7 Ⅰ　　　　函数的单调性与最值 1．函数的单调性 a．函数的单调性与单调区间 (1)(2024汇编，10分)判断下列各函数在定义域上的单调性，并用单调性的定义证明结论． ①f(x)＝2x－； ②f(x)＝，x∈(－1，0)． 解：①函数f(x)在R上单调递增.(1分) 证明如下： 易知函数f(x)的定义域为R . 任取x1，x2∈R，设x1<x2， 则f(x1)－f(x2)=. ∵，∴，∴， ∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，∴函数f(x)在R上单调递增.(5分) ②函数f(x)在(－1，0)上单调递增.(6分) 证明如下： 任取x1，x2∈(－1，0)，设x1<x2，则0<x1x2<1， ∴f(x1)－f(x2)=， 即f(x1)<f(x2)， ∴函数f(x)在(－1，0)上单调递增.(10分) (2)(经典题，5分)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．f(x)＝－2x　　　　 B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝－ln(x＋1) 解析：A选项， f(x)＝. ∵在(0，＋∞)上，为增函数， y＝2x为增函数，且两函数值均为正数， ∴为(0，＋∞)上的增函数，且y>0， ∴y＝为(0，＋∞)上的减函数， ∴f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减， 故不符合题意； B选项， f(x)＝＝＝2－， ∴f(x)的图像是由反比例函数y＝－的图像向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到的，如图： ∴由图像可知函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)和(－2，＋∞).∴f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，故符合题意； C选项， f(x)＝＝2x＋. 如图，根据对勾函数y＝ax＋(a>0，b>0)的图像可知其单调增区间为(－∞，－]，[，＋∞)，单调减区间为[－，0)，， ∴可得函数f(x)＝2x＋在(0，]上单调递减，故不符合题意； D选项，由f(x)＝－ln(x＋1)可知函数f(x)的定义域为(－1，＋∞). ∵y＝在(－1，＋∞)上为减函数，y＝ln(x＋1)在(－1，＋∞)上为增函数， ∴f(x)＝－ln(x＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，故不符合题意. (3)(浙江绍兴模拟，4分)关于函数f(x)＝log2的单调性的说法正确的是(　　) A．在R上是增函数 B．在R上是减函数 C．在区间上是增函数 D．在区间上是减函数 解析：由解析式知函数f(x)的定义域为. 设t＝2x－(t>0)，显然t＝2x－(t>0)在上是增函数，y＝log2t在(0，＋∞)上是增函数，所以由复合函数的单调性可知，f(x)在区间(，＋∞)上是增函数.故选C. b．根据函数的单调性求参数的取值范围 (4)(2024汇编，25分)①已知函数f(x)＝其中a＞0，且a≠1，若对任意的x1，x2∈R(x1≠x2)，都有>0成立，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. ②已知函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)(海南经典真题) A．(2，＋∞) B．[2，＋∞) C．(5，＋∞) D．[5，＋∞) ③若在区间(0，m)内任取实数x1，x2(x1≠x2)，不等式(x1lnx2－x2lnx1)(x1－x2)＜0均成立，则实数m的最大值是(　　) A．e B. C. D．1 ④若函数f(x)＝2|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则实数a的取值范围是(　　) A．[1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－∞，1] ⑤若函数f(x)＝在区间(2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解析：①因为对任意的x1，x2∈R(x1≠x2)，都有>0成立，所以函数f(x)＝在定义域R上是增函数，所以解得≤a<，即实数a的取值范围是.故选C. ②由x2－4x－5>0，得x<－1或x>5，所以函数f(x)＝lg(x2－4x－5)的定义域为(－∞，－1)∪(5，＋∞).令t＝x2－4x－5，x∈(－∞，－1)∪(5，＋∞)，因为外层函数y＝lgt是其定义域内的增函数，所以要使函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)上单调递增，则必须使内层函数t＝x2－4x－5，x∈(－∞，－1)∪(5，＋∞)在(a，＋∞)上单调递增，所以(a，＋∞)⊆(5，＋∞)，所以a≥5，即a的取值范围是[5，＋∞).故选D. ③设x1＜x2，则x1－x2＜0，所以x1lnx2－x2lnx1＞0.因为x1，x2＞0，所以在不等式x1lnx2－x2lnx1＞0两边同时除以x1x2并移项，得.令f