(普查练习)第4课 基本不等式-【提分宝典】2024版新高考数学一轮全考点普查随堂课后练

第4课　　　　　基本不等式 普查与练习4　　　　　基本不等式 1．基本不等式应用过程中的易错点 (1)(2024汇编，5分)下列说法中，正确的有________个． ①当a＞b时，2a＋2b≥21＋； ②当x＞0，y＞0时，x3＋y3≥； ③当0<x<时，cosx＋≥2，当且仅当cosx＝1时取得等号； ④当x＞0，y＞0，且x2＋y2＝4时，2x2y≤4； ⑤当a≠0时，lg(a2＋1)>lg|2a|； ⑥当0<a<1，c>1时，lg(ac＋a－c)有最小值； ⑦当x∈∪时，y＝的值域为[，＋∞)； ⑧当0<x<2时，函数y＝的最大值为. 解析：①取a＝－1，b＝－2，可得2a＋2b＝2－1＋2－2<2，21＋＝21＋>2，显然①错误． ②(x3＋y3)(x＋y)≥2·2＝4x2y2，所以x3＋y3≥，当且仅当即x＝y时等号成立，故②正确． ③当0<x<时，0<cosx<1，cosx＋≥2等号成立的条件为cosx＝1，即x＝0，不符合题意，故③错误． ④因为x＞0，y＞0，所以x＋y≤2＝2，当且仅当x＝y＝时等号成立， 所以2x2y＝2x＋y≤22 ＝4，故④正确． ⑤因为a≠0，所以a2＋1≥|2a|，当且仅当a2＝1，即a＝±1时等号成立，所以lg(a2＋1)≥lg|2a|，故⑤错误． ⑥易知ac>0，a－c>0，所以ac＋a－c≥2＝2，当且仅当ac＝a－c，即c＝0时等号成立． 因为c>1，所以ac＋a－c无最小值，所以lg(ac＋a－c)无最小值，故⑥错误． ⑦y＝＝＝. 设tanx＝m，当m＞0，即x∈时，y＝＝(3m＋)≥×2＝， 当且仅当3m＝，即m＝， tanx＝，x＝时等号成立． 当m＜0，即x∈时，y＝－≤－，当且仅当－3m＝－，即m＝－，tanx＝－，x＝－时等号成立．故y＝的值域为(－∞，－]∪[，＋∞)，故⑦错误． ⑧因为0＜x＜2，所以2x＜4，所以4－2x＞0， 所以y＝＝≤＝，当且仅当2x＝4－2x，即x＝1时等号成立， 故函数y＝的最大值为，故⑧错误． 综上，正确的为②④，共2个． 2．利用基本不等式判断不等关系 (2)(多选)(2022新高考Ⅱ真题，5分)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　) A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2 C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1 解析：由x2＋y2－xy＝1变形可得(x＋y)2－1＝3xy≤32，解得－2≤x＋y≤2，当且仅当x＝y＝－1时，x＋y＝－2，当且仅当x＝y＝1时，x＋y＝2，所以A错误，B正确； 由x2＋y2－xy＝1变形可得(x2＋y2)－1＝xy≤，解得x2＋y2≤2，当且仅当x＝y＝±1时取等号，所以C正确； 由x2＋y2－xy＝1变形可得1＝x2＋y2－xy≤x2＋y2＋＝，所以x2＋y2≥，所以D错误． 故选BC. (3)(多选)(海南经典真题，5分)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则(　　) A．a2＋b2≥ B．2a－b> C．log2a＋log2b≥－2 D.＋≤ 解析：对于A，a2＋b2＝a2＋(1－a)2＝2a2－2a＋1＝22＋≥，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故A正确； 对于B，a－b＝2a－1>－1，所以2a－b>2－1＝，故B正确； 对于C，log2a＋log2b＝log2ab≤log22＝log2＝－2，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故C错误； 对于D，因为(＋)2＝1＋2≤1＋a＋b＝2，所以＋≤，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故D正确． 故选ABD. 3．利用基本不等式求最值 (4)(2024汇编，20分)已知x＞0，y＞0，x＋y＝1. (Ⅰ)求lnx＋的最大值； (Ⅱ)＋的最小值； 变式：若条件不变，则 ①＋的最小值为__________． ②＋的最小值为__________． ③＋的最小值为__________． (Ⅲ)求x(1＋2y)的最大值； (Ⅳ)求z=(x＋)的最小值． 变式：若x>0，y>0，则＋的最大值为________． 解：(Ⅰ)因为x，y＞0，x＋y＝1，所以0＜x＜1， 所以lnx＜0，所以lnx＋＝－≤－2＝－2， 当且仅当－lnx＝－，即lnx＝－，x＝e－ 时等号成立， 所以lnx＋的最大值为－2.(5分) (Ⅱ)(法一)因为x＞0，y＞0，x＋y＝1， 所以＋＝(x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即x＝，y＝时等号成立，故＋的最小值为9.(10分) (法二)＋＝＋≥＝9，当且仅当＝，即x＝，y＝时等号成立，故＋的最小值为9.(10分) 变式： ①因为x＋y＝1，所以＋＝＋＝1＋＋≥1＋2＝5，当且仅当＝，即x＝，y＝时等号成立，故＋的最小值为5. ②因为x＋y＝1，所以2x＋2y＋1＝3. (法一)＋＝＋＝2·＝≥(2＋