(普查练习)第2课 常用逻辑用语-【提分宝典】2024版新高考数学一轮全考点普查随堂课后练

第2课 常用逻辑用语 普查与练习2　　　　常用逻辑用语 1．命题真假的判断 (1)(江苏南京师大附属扬子中学四模，5分)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是________． 解析：答案不唯一，如f(x)＝sinx，f(x)＝－x(x－3)等． (2)(山东聊城模拟，5分)如图所示，平面中两条直线l1与l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若p，q分别是M到直线l1与l2的距离，则称有序非负实数对(p，q)是点M的“距离坐标”．给出下列四个命题： ①“距离坐标”为(1，0)的两点间距离为2； ②若p＝q，则点M的轨迹是一条过O点的直线； ③若pq≠0，则“距离坐标”为(p，q)的点有且仅有4个； ④若直线l1与l2的夹角是60°，则|OM|＝或|OM|＝. 其中所有真命题的序号为________． 解析：①∵点的“距离坐标”为(1，0)， ∴点到直线的距离为1，点到直线的距离为0，即点在直线上. 在直线上画出点，(，到直线的距离均为1，即||＝||＝1)，如图1所示. 由图可知||≥1，||≥1，当，互相垂直时等号成立， ∴||≥1＋1＝2，故①错误. ②若p＝q，则M在直线，相交所成角的平分线上， ∴点M的轨迹是两条过O点的直线，故②错误. ③如图2，作到直线距离为p的两条平行线，作到直线距离为q的两条平行线， 则四条直线的交点即为“距离坐标”为(p，q)的点，有且仅有4个，故③正确. ④当直线与的夹角是60°时，直线与的位置如图3所示. 以直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，则：y＝x，：y＝0. 设M(x，y)，则p＝，q＝|y|， ∴y＝±q，x＝，|OM|2＝x2＋y2＝(y±2p)2＋q2， ∴|OM|2＝(p2＋pq＋q2)或|OM|2＝(p2－pq＋q2)， ∴|OM|＝或|OM|＝，故④正确.故答案为③④. 2．充分条件与必要条件 a．充分条件与必要条件的判断 (3)(2024汇编，21分)下列各题是关于充分条件与必要条件的判断，请从所给的四个选项中选出正确的答案． ①已知a∈R，则“a>6”是“a2>36”的(　　)(2021天津真题) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件　 D．既不充分也不必要条件 ②已知f(x)是定义在[0，1]上的函数，那么“函数f(x)在[0，1]上单调递增”是“函数f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)”的(　　)(2021北京真题，4分)　 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ③设{an}是公差不为0的无穷等差数列，则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0，当n>N0时，an>0”的(　　)(2022北京真题，4分) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ④已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的(　　)(2021浙江真题，4分) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 ⑤设x∈R，则“sinx＝1”是“cosx＝0”的(　　)(2022浙江真题，4分) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：①解不等式a2>36可得a>6或a<－6. 因为a>6⇒a>6或a<－6，且a>6或a<－6a>6， 所以“a>6”是“a2>36”的充分不必要条件.故选A. ②若函数f(x)在[0，1]上单调递增，则f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)； 取f(x)＝2，满足f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)，但f(x)＝2在上为减函数，在上为增函数，故“f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)”推不出“f(x)在[0，1]上单调递增”， 故“函数f(x)在[0，1]上单调递增”是“f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)”的充分而不必要条件.故选A. ③设等差数列{an}的公差为d，则d≠0，记[x]为不超过x的最大整数. 若{an}为单调递增数列，则d>0. 若a1≥0，则当n≥2时，an>a1≥0； 若a1<0，则由an＝a1＋(n－1)d>0可得n>1－， 取N0＝，则当n>N0时，an>0，所以充分性成立. 若存在正整数N0，当n>N0时，an>0， 取k∈N*且k>N0，则ak>0. 假设d<0，令an＝ak＋(n－k)d<0，解得n>k－， 所以当n取＋1时，有an<0，此时n>k>N0，与题设矛盾，假设不成立， 故d>0，即数列{an}是递增数列，所以必要性成立. 综上，“{an}为递增数列”是“存在正整数N0，当n>N0时