20 立体几何-空间中的角及垂直关系（讲义）-2022-2023学年高教版（中职）数学高职考一轮复习

高职考一轮复习 课堂讲义 立体几何 空间中的角 【例题1】如图，在正方体 中， 为 的中点，则 直线 与 所成角的余弦值为 A． B． C． D． 【练习1】如图，在直三棱柱 中，若 ， ，，则异面直线 与 所成的角的余弦值为 A． B． C． D． 【例题2】若斜线段 的长是它在平面 上的射影的长的 倍，则 与平面 所成的角是 A． B． C． D． 【练习2】已知线段 与平面 所成的角是 ，且线段 的长是 ，则线段 在平面 射 影长是 ． 【例题3】在长方体 中，，， 则 与平面 所成角的正弦值为 A． B． C． D． 【练习3】正方体 中，直线 与平面 所成的角为 ． 【例题4】已知正四棱锥的侧棱长为 ，侧棱与底面所成的角为 ，则该四棱锥的高为 ，斜 高为 ． 【练习4】正三棱锥底面边长为 ，侧棱与底面所成的角的大小为 ，则它的斜高等于 ． 【例题5】如图所示，在三棱锥 中，， ，则二面角 的大小为 A． B． C． D． 【练习5】如图所示，在 中，， 的面积是 的面积的 倍，， 沿 将 翻折，使翻折后 ，且二面角 的大小为 ，则 的长为 A． B． C． D． 【例题6】在正方体 中，二面角 的大小等于 A． B． C． D． 【练习6】如图，正方体 ，则二面角 的余弦值是 ． 【例题7】下列说法中正确的个数是 ①若直线 与平面 内的一条直线垂直，则 ； ②若直线 与平面 内的两条直线垂直，则 ； ③若直线 与平面 内的两条相交直线垂直，则 ； ④若直线 与平面 内的任意一条直线都垂直，则 ． A． B． C． D． 【练习7】一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是 A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．不确定 【例题8】如图，在正方体 中，与 垂直的 平面是 A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【练习8】如图，在 中，， 为 所 在平面外一点，，则四面体 中直角三 角形的个数为 A． B． C． D． 【例题9】已知直线 ， 与平面 ，，，下列能使 成立的条件是 A． ， B． ，， C． ， D． ， 【练习9】下列命题中正确的是 A．平面 和 分别过两条互相垂直的直线，则 B．若平面 内的一条直线垂直于平面 内的两条平行直线，则 C．若平面 内的一条直线垂直于平面 内的两条相交直线，则 D．若平面 内的两条直线垂直于平面 内的无数条直线，则 【例题10】如图，边长为 的正方形 所在的平面与平面 垂直， 与 的交点为 ，．求证：． 【练习10】如图，在三棱锥 中，，，，点 ，（ 与 ， 不重合）分别在棱 ， 上，且 ．求证： (1) ； (2) ． 【例题11】如图所示，在长方体 中，，，连接 ，． (1) 求证：； (2) 求三棱锥 的体积． 【练习11】如图，在三棱柱 中，，，， 分别为 ，， 的中点，，． (1) 求证：； (2) 求三棱锥 的体积． 【例题12】如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，侧面 是正三角形， 是 侧棱 的中点，且 ．求证：； 【练习12】如图在四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形，， 且 ，设 ， 分别为 ， 的中点． (1) 求证：； (2) 求证：； (3) 求直线 与平面 所成角的大小． 答案 【例题1】D 【练习1】D 【解析】连接 ，． 【例题2】A 【解析】斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形．如图所示， 即是斜线段 与平面 所成的角． 因为 ， 所以 ， 所以 ． 【练习2】 【例题3】A 【解析】连接 ， 则 为 与平面 所成的角， 因为 ， 所以 ， 又 ， 所以 ， 所以 ． 故选A． 【练习3】 【例题4】， 【解析】如图，过点 作 ，连接 ， 就是侧棱与底面所成的角， 则 ， 所以 ， 故答案为：． 【练习4】 【例题5】A 【解析】因为 ， 所以 ，， 所以 即为二面角 的平面角， 又 ， 所以二面角 的大小为 ． 【练习5】D 【解析】由题可知 ，， 所以 为二面角 的平面角， 所以 ， 因为 ， 所以 ， 所以在 中，． 【例题6】B 【解析】如图， 易知 是平面 与平面 的交线， 因为 ，， 所以 就是二面角 的平面角． 在 中， 因为